Valuación de opciones simples y complejas contenidas en arrendamientos financieros

Resumen

El valor de los contratos de arrendamiento es una función del valor presente de los cánones más las opciones reales operativas. Sin embargo, el método del préstamo equivalente (MPE), con amplia aplicación en la valuación de arrendamientos, falla porque no incorpora las opciones contenidas en el contrato. De esta forma, el presente trabajo propone un modelo de valuación combinando el MPE y el enfoque binomial para valuar opciones reales. Para lograr lo anterior, se realiza el planteamiento matemático y su aplicación para opciones simples (compra, cancelación anticipada, renovación) y compuestas (venture leasing, leasing a porcentaje, pago diferido, pago diferido y compra), demostrando la habilidad del modelo para calcular el valor actual expandido del contrato, como la suma del valor actual de pagos y opciones operativas.

Abstract

The value of leasing agreements is a function of the present value of the payments plus the operative real options. The equivalent loan method (ELM), widely applied in leasing valuation, fails because it does not incorporate the options embedded in the contract. The paper proposes a model of valuation that combines the ELM and the binomial approach for valuing real options. The mathematical approach and its application for simple (purchase, early cancellation; roll over) and compound options (venture leasing; percentage leasing; deferred payment; deferred payment and purchase); showing the model's ability to calculate the current expanded value of the contract, such as the sum of the payment of the present value and operative options.

Resumo

O valor dos contratos de arrendamento é uma função do valor atual das taxas mais as opções reais operativas. No entanto, o método de empréstimo equivalente (MPE), com ampla aplicação na avaliação de contratos de arrendamentos, falha porque não incorpora as opções contidas no contrato. Desta forma, o presente trabalho propõe um modelo de avaliação combinando o MPE e a abordagem binomial para valorizar opções reais. Para conseguir isso, realiza-se o tratamento matemático e sua aplicação para opções simples (compra, cancelamento antecipado, renovação) e compostas (venture leasing, leasing percentual, pagamento diferido, pagamento diferido e compra); demonstrando a habilidade do modelo para calcular o valor atual expandido do contrato, como a soma do valor atual de pagamentos e opções operativas.

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Introducción

La complejidad de los negocios ha promovido el desarrollo del leasing¹ como instrumento de adquisición alternativo a la opción de compra financiada. Bajo esta modalidad se ofrecen arrendamientos de diversos tipos de activos, como oficinas, edificios, plantas, equipamientos informáticos, autos, camiones, aeronaves, barcos, maquinaria de producción industrial (p. ej., para la construcción o medicinal), etc. En los casos de bienes caracterizados por su larga vida útil (inmuebles, embarcaciones, aeronaves) o significativa variabilidad en características tecnológicas y de mercado (equipos de tecnología de vanguardia), existen modalidades de arrendamientos atípicos y complejos que incorporan opciones operativas. Los contratos modernos se diferencian de la tradicional versión de arrendamiento, ya que contienen cláusulas especificando opciones operativas, por ejemplo cancelación anticipada, de compra, renovación del instrumento, etc. Estas añaden flexibilidad a favor de los sujetos intervinientes en el contrato y, como consecuencia de ello, se traducen en un mayor valor del arrendamiento (Copeland y Weston, 1982; Lee, Martin y Senchack, 1982; McConnel y SchaUheim, 1983; Grenadier, 1996; Trigeorgis, 1996; Grenadier, 1997; Liang y Shusheng Li, 2012).

Frecuentemente, el valor presente correspondiente a la corriente de pagos del leasing es calculado mediante el método del préstamo equivalente (MPE) (Myers, Dill y Bautista, 1976; Benninga, 2008; Milanesi, 2011). No obstante, el MPE no estima el valor total de los beneficios (costos) del contrato, en particular cuando el instrumento contiene opciones operativas, ya que estas no son consideradas. Para subsanar la mencionada falencia del MPE es necesario utilizar modelos financieros complejos que capturen la flexibilidad operativa de las opciones y determinen el valor actual expandido del contrato (Trigeorgis, 1993).

Motivado por las ideas anteriores y con el objeto de estimar el valor estratégico o expandido de contratos de arrendamiento con opciones, el presente trabajo propone un modelo de valuación donde se combina el clásico MPE y las expresiones matemáticas de valoración correspondientes a opciones simples y compuestas contenidas en diferentes modalidades de leasing, utilizando el modelo binomial. De esta forma, el trabajo aporta una expresión formal para medir el valor expandido o estratégico del contrato como la suma entre el valor de las opciones operativas del arrendamiento y el valor estático del modelo MPE.

Para ello, en la siguiente sección se desarrolla el marco teórico exponiendo sucintamente los conceptos inherentes al MPE, valor expandido y la formulación general del modelo propuesto, con el fin de valorar y calcular el costo efectivo del contrato de leasing con opciones mediante el modelo binomial. En la misma sección son desarrolladas analíticamente las expresiones correspondientes al valor terminal de las opciones simples y compuestas contenidas en las modalidades contractuales analizadas y el procedimiento para estimar su valor actual. Seguidamente, tomando como unidad de análisis los contratos de arrendamiento pactados en el mercado, se ilustra la mecánica de implementación y funcionamiento de los diferentes modelos desarrollados precedentemente. En cada uno de los casos estudiados se presenta el valor expandido del contrato, sus costos financieros y el porcentaje que representa el valor de la opción sobre el valor total del leasing. Finalmente, se exponen las principales conclusiones.

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Marco teórico

Desde el punto de vista formal, el valor estratégico o expandido correspondiente a un proyecto de inversión, empresa en marcha o corriente de flujos (VE) es igual a la suma entre el valor actual estático (VA) y el valor actual de las opciones (VO) (Trigeorgis, 1997). Si dicha idea se extrapola a la valoración de contratos de arrendamiento con opciones, se tiene que el valor expandido del contrato (VEL₀) es la suma del valor estimado mediante el método del préstamo equivalente (MPE)², notado como VANL, y el valor actual de las opciones del contrato (L₀), conforme queda expresado en la siguiente ecuación:

donde V₀ representa el costo de adquisición del activo, r^* se refiere costo financiero antes de impuestos, ff_t es el flujo de fondos neto de impuestos del leasing³ y L₀ es el valor teórico en la fecha de valuación de las opciones (flexibilidad) contenidas en el arrendamiento. A partir de la ecuación anterior, se deriva el costo efectivo del contrato:

En la ecuación 2 se adiciona el valor terminal de la opción L_t a la corriente de flujos de leasing, siendo la tasa de costo efectivo r^y4.

Las opciones contenidas en el contrato (L) son valoradas mediante el clásico modelo binomial (Cox, Ross y Rubinstein, 1979). De esta forma, una vez definidos los parámetros del modelo⁵, la siguiente expresión determina el valor teórico para cualquier tipo de opción contenida en el contrato:

donde L_j(T) representa el valor terminal que adoptan las diferentes modalidades de opciones para el j-ésimo nodo (j = (0…n)); T representa el periodo correspondiente al ejercicio de la opción; r tasa libre de riesgo; p y 1 – p los coeficientes equivalentes ciertos. De esta forma, la ecuación (3) representa la versión sintética del proceso recursivo utilizado en la valoración de opciones aplicando el método binomial.

A continuación, son desarrolladas las ecuaciones correspondientes a los valores terminales L_j(T). En primer lugar, son expuestas 4 tipologías de opciones simples: de compra, cancelación anticipada, renovación y de renovación-compra. Posteriormente, se presentan las expresiones correspondientes a contratos con opciones complejas: de riesgo (venture lease), con canon atado a la intensidad de uso (percentage lease) y con diferimientos de pago (lease with deferred payment)⁶.

2.1

Opción de compra

La opción de compra se encuadra dentro del grupo de opciones simples, de uso frecuente en los contratos de arrendamiento. Otorga al tomador el derecho de obtener la propiedad del bien a cambio del pago de un precio de ejercicio (EX_t). En términos de opciones financieras, se asemeja a un call, por lo tanto, su valor terminal es:

De esta forma, el ejercicio de la opción de compra se efectiviza en la medida que el valor del bien (V_t) supere el precio pactado. Si el ejercicio se pacta para una fecha determinada (T), la opción es del tipo europeo; caso contrario, si el ejercicio se efectiviza en antes del vencimiento del contrato, es del tipo americana⁷. En este, el ejercicio se determina comparando para cada periodo (t < T) el valor terminal con el valor teórico de la opción de compra. Si el VT_t > L_OC,t la opción debe ser ejercida; en caso contrario, se continua con el contrato.

2.2

Opción de cancelar anticipadamente

Esta cláusula permite al tomador cancelar de manera anticipada el contrato de arrendamiento. Cuando el valor actual de los flujos de fondos provenientes de continuar las operaciones generadas por el subyacente (VC_t) menos el valor actual del saldo de pagos del leasing (VL_t) en el instante T es menor que la multa por pago anticipado P, la opción de cancelación anticipada es ejercida. Su valor terminal se expresa de la siguiente manera:

Dependiendo del momento en que se pacte la oportunidad de cancelar anticipadamente, el tratamiento de la opción es que se asimila a una opción de compra europea o americana. Para este último caso, si en el instante t < T el valor terminal es mayor al teórico VT_t > L_CA,t la opción debe ejercitarse, con la correspondiente cancelación anticipada del contrato.

2.3

Opción de renovar el contrato

Esta opción permite al tomador extender el contrato por plazo de tiempo adicional N′. Si el vencimiento original se pacta N = T, la cláusula de renovación dispone la opción de extensión a N + N′ periodos. Su tratamiento se asemeja al de la opción con cancelación anticipada (ecuación 5), ya que se supone un vencimiento ficticio del contrato en el nuevo plazo (N′ = N + t) y su correspondiente ejercicio de la opción de cancelar anticipadamente en el plazo original (N), sin penalidad alguna. La opción de renovar se ejerce siempre que el valor actual de los flujos de fondos provenientes de las operaciones del bien menos el valor actual del saldo de pago del contrato sea positivo. Esto se presenta en la siguiente ecuación:

Dado lo anterior, en varias ocasiones se conjugan 2 opciones: a) compra del activo en el vencimiento inicialmente pactado (N = T), y b) renovación del contrato para extenderlo a un nuevo vencimiento N′ = N + t, seleccionándose la alternativa de mayor valor. Para este caso, el valor terminal de la opción surge como el máximo valor entre la opción de renovar sin penalidad (ecuación 6) y la opción de compra (ecuación 4), lo cual se refleja en la ecuación 7:

2.4

Arrendamiento con colateral convertible (venture leasing)

Esta clase de producto financiero posibilita el acceso al uso de activos fijos de alto valor, en empresas de base tecnológica típicas de sectores biotecnológicos, de capital cerrado, en sus diferentes etapas (desarrollo, expansión y madurez), financiando necesidades de infraestructura y equipamiento específico. Estos contratos se complementan con el aporte de capital privado de parte de inversores de riesgo (venture capital). Una de sus principales ventajas consiste en moderar la disolución de la participación en el capital de parte de los emprendedores fundadores, ya que el proyecto o la inversión incremental en tecnología no se financia íntegramente con capital de riesgo privado, empleando el venture leasing como alternativa de financiamiento con colateral (Klieman, 2001).

Bajo esta modalidad, el arrendatario suscribe un contrato donde se compromete a pagos en concepto de alquiler del equipo. Paralelamente se ofrecen bonos (warrants)⁸ convertibles en participaciones de capital como colateral y en carácter de compensación a favor del dador, dado el riesgo adicional que implica un arrendatario start-up⁹. Los títulos son ejercibles en una fecha determinada con las siguientes opciones para el dador: a) percibir una serie de pagos con valor actual M, o b) comprar acciones del arrendatario a un precio de ejercicio K. A menudo se pactan cláusulas de protección del arrendatario, ya que si el emprendimiento es exitoso y la diferencia entre el valor de cotización de la parte de capital correspondiente a la firma (S) y el precio de ejercicio pactado (K) excede el valor del warrant (M), la opción de conversión expira. Consecuentemente, el valor terminal de la opción es asimilable a una opción de compra europea con valor límite igual a M, siendo su expresión la siguiente:

Según la expresión anterior, al vencimiento el arrendatario paga el valor de la opción o el valor actual de los flujos de fondos del warrant. Al desagregar la ecuación 8 se obtiene:

Desarrollando la expresión anterior, se plantea el valor terminal de la opción de la siguiente manera:

De esta forma, la opción tiene un límite de valor igual a M y se expresa como la diferencia entre 2 call europeas con precios de ejercicio K y K + M, respectivamente. En otras palabras, para estimar el valor terminal se considera la diferencia de 2 opciones de compra europeas, call 1 y call 2, con diferentes precios de ejercicio. El límite de máximo pago M actúa como cláusula de protección para el arrendatario, ya que por debajo del valor del warrant el arrendador ejerce la opción de adquirir acciones o partes de capital correspondientes al emprendimiento a un precio de ejercicio K.

2.5

Canon fijo y porcentaje (percentage lease)

Esta modalidad de arrendamiento vincula parte de los flujos de fondos que recibe el dador al grado de intensidad o uso del activo objeto del contrato¹⁰. A cambio, este se compromete a mantener en perfecto estado operativo el bien, reduciendo el riesgo asumido por el arrendatario ante potenciales desperfectos por su utilización. La presente modalidad es empleada con frecuencia en el caso de arrendamientos sobre inmuebles, en donde el tomador se compromete al pago de un canon base y un porcentaje sobre el nivel de ingresos¹¹ (Wheaton, 2000). En los contratos de alquiler sobre locales en espacios comerciales se establece un valor fijo por metro cuadrado y un porcentaje sobre ingresos por ventas en tanto y en cuanto se supere un determinado precio de ejercicio. A menudo, el precio de ejercicio por metro cuadrado se estima como la ratio entre el valor fijo del alquiler y el porcentaje sobre el nivel de ingresos¹². Este resultado es conocido como punto de equilibrio del contrato.

Esta modalidad de contrato permite promover disminuciones en el costo fijo del canon y trasladar el riesgo del negocio producido por la volatilidad de los ingresos por ventas al dador o propietario del inmueble. Asimismo, y dependiendo de las características del contrato, se pueden incorporar cláusulas a favor del tomador y dador limitando el monto total de ingresos empleados como base de cálculo con techos (caps) y pisos (floors)¹³. De esta forma, siendo VC_t los ingresos por ventas en el momento T, K el nivel mínimo de ventas pactado y α el porcentaje de ventas pagadas al arrendatario, el valor terminal de la opción contenida en el contrato se encuentra sujeto a la siguiente lógica: si las ventas (VC) exceden el nivel precio del ejercicio o punto de quiebre (K), el dador recibe un pago adicional al canon al vencimiento T de una suma VC-K o αVC; el menor de los 2, conforme surge de la siguiente expresión:

De la expresión anterior se deriva que el valor terminal correspondiente a las opciones del contrato se desagrega en 2 opciones de compra europeas, con igual fecha de vencimiento pero diferentes precios de ejercicio K y K/1-α.

2.6

Premio y pago diferido del activo (lease with deferred payment)

Existen modalidades de contratos de leasing donde el arrendatario solamente paga el alquiler por su uso, pero puede disponer de cláusulas donde se le otorgue la opción exclusiva o preferencial de adquirir el activo arrendado a un ventajoso y diferido precio (K) al vencimiento del contrato. El tomador abona un derecho exclusivo D, más el valor de la opción de compra K. El derecho exclusivo se paga al vencimiento (T), siempre que el precio de mercado del bien sea superior al precio de ejercicio más el derecho que se paga. El premio o derecho (D) no tiene un valor constante ya que por lo general se pacta como una fracción del valor del bien (V), por lo tanto D es contingente; D_T,(i,j) = α × V_T(i,j) y pagadero en tanto V_T > K + D. El valor terminal de la opción queda expresado en la siguiente ecuación:

3

Las opciones reales contenidas en los arrendamientos. Análisis de casos

En la presente sección son aplicados los modelos de valuación de leasing. De esta forma, en los casos de arrendamientos tradicionales con opción de compra, cancelación anticipada y extensión, se estudia el caso del arrendamiento por parte de un operador turístico de un bus de media distancia para viajes domésticos. Para la modalidad venture leasing fue seleccionado el caso de financiamiento de compra de equipamiento asegurada con warrant por una empresa de base tecnológica del sector de ciencias naturales en fase de expansión. En el caso del leasing a porcentaje es estudiado el alquiler por metro cuadrado, tomando como base los datos correspondientes a complejos comerciales, dedicados a la indumentaria femenina radicados en Estados Unidos. Finalmente, para ilustrar el funcionamiento de los arrendamientos con pagos diferidos, se analizó el caso de arrendamiento y compra de equipamiento informático.

A continuación, mediante el caso de aplicación, son desarrollados los modelos expuestos anteriormente.

3.1

El método del préstamo equivalente

Se presenta un caso donde una empresa de servicios turísticos radicada en la provincia de Buenos Aires (Argentina) se encuentra estudiando la alternativa de alquilar o comprar un bus de media distancia para el traslado de pasajeros en viajes locales. Se trata de la compra de un bus Volkswagen 18320 EOT de media y larga distancia, modelo 2014, cuyo costo de adquisición en t = 0 es V₀ = $1.529.000 pesos argentinos($). En este caso, según las normas tributarias locales, la compra no genera crédito fiscal (CF) a favor del adquirente. Adicionalmente, existe la posibilidad de suscribir un contrato de arrendamiento con la entidad Nación Leasing perteneciente al Banco de la Nación Argentina. De esta forma, el leasing base establece las siguientes condiciones: 36 pagos mensuales, vencidos y consecutivos de valor p_t = $63.498 cada uno. A mes adelantado, la cuota 37 otorga el derecho a ejercer la opción de compra pactada en un 5,5% del valor convenido ($ 84.477).

Con el fin de simplificar la presentación de los resultados, se suponen pagos anuales coincidentes con el año calendario, de tal forma que el flujo de fondos anual correspondiente al pago de cuotas asciende a $ 761.976,00. Por otra parte, los costos de transacción producto del contrato son considerados un flujo incremental provocado por leasing. Estos se integran por la comisión del 2% cobrada por la entidad financiera ($ 37.001,80) y el impuesto del 4% correspondiente a sellos sobre contrato ($ 67.889,77)¹⁴. La comisión y los tributos son abonados en el momento de perfeccionar la operación jurídica, consecuentemente disminuyendo el valor producto del ahorro de fondos que provoca el leasing en comparación a la compra.

Los seguros y los impuestos sobre el vehículo a pagar son un flujo no incremental cuando se estudian las alternativas de compra versus arrendamiento¹⁵. Por razones de simplicidad, en el trabajo se supone que el costo del seguro contratado es similar en el caso de compra y arrendamiento. Otros datos adicionales que se consideran para el caso son: la vida útil asignada a los vehículos según las normas fiscales es de 5 años, depreciación del 20% anual, alícuota marginal del 35% correspondiente al impuesto a las ganancias, costo de tomar deuda para financiar la compra antes de impuesto promedio para préstamos prendarios¹⁶r* = 30%, tasa libre de riesgo r = 10%. A continuación, se calcula el valor actual neto y el costo financiero sin opciones aplicando el MPE. En la tabla 1 se presentan los flujos de fondos del contrato.

Tabla 1.

Flujos de fondos correspondiente al contrato base

t	1	2	3	4	5
pt	$ –761.976	$ –761.976	$ –761.976	$ 0,00	$ 0,00
At	20%	20%	20%	20%	20%
aft	$ 266.691,6	$ 266.691,6	$ 266.691,6	$ 0,00	$ 0,00
pft	$ –107.030	$ –107.030	$ –107.030	$ –107.030	$ –107.030
fft	$ –602.314,4	$ –602.314,4	$ –602.314,4	$ –107.030	$ –107.030

Fuente: elaboración propia.

El valor actual de los pagos del leasing VAL=∑t=0Nfft1+r*−t es de $ -1.160.171,41 y el valor actual neto del contrato (comprar-financiar versus arrendar) es de VANL=V0−VAL correspondiente a $ 277.088,59. El costo financiero del leasing 0=V0−VALry asciende al 16,98%, siendo inferior al costo de la deuda antes de impuestos r* y al costo de la deuda neto de impuestos r* 19,5%. A continuación, serán estimados el impacto en el valor que presentan las posibles opciones sobre el contrato.

3.2

Opción de compra

Para estimar la opción de compra contenida en el contrato, se supone que el valor del bien evoluciona siguiendo un proceso del tipo geométrico browniano (GBM) ajustado por la depreciación económica estimada del mismo, B_t del 20% el primer año y luego el 15% por año¹⁷. El valor del subyacente evoluciona periódicamente a razón de:

En la ecuación precedente, u representa el coeficiente de ascenso y d el coeficiente de descenso. Para su estimación se debe contar con el dato de la volatilidad del subyacente. En este caso, se supone un desvío σV=21,97%¹⁸, donde u = 1,2461 y d = 0,8025. Con estos datos, se está en condiciones de elaborar la rejilla binomial aplicando la ecuación 14; estos resultados se exponen en la tabla 2.

Tabla 2.

Proceso estocástico correspondiente al valor del subyacente

0	1	2	3
$ 1.529.000,00	$ 1.524.201,06	$ 1.234.526,46	$ 769.157,34
	$ 981.640,99	$ 795.080,00	$ 495.365,34
		$ 512.060,48	$ 319.033,32
			$ 205.469,08

Fuente: elaboración propia.

En el contrato se dispone que la opción de compra es ejercida finalizado el contrato, en el periodo N = 3. En la tabla 3 se presenta el valor terminal producto de calcular el valor de la opción de compra L_OC,T(i,j) (ecuación 4), el valor terminal ajustado por su probabilidad de ocurrencia (L_OC,T(i,j) × Q_T(i,j)) y el valor teórico de la opción en t = 0 (L₀) (ecuación 3), donde r = 10%, p = 0,6823 y (1 – p) = 0,3177.

Tabla 3.

Valor terminal y valor teórico opción de compra

N = 5(i, j)	LOC,T(i,j)	QT(i,j)	LOC,T(i,j) × QT(i,j)
3	$ 685.062,34	31,77%	$ 217.625,71
2	$ 411.270,34	44,37%	$ 182.476,44
1	$ 234.938,32	20,66%	$ 48.531,71
0	$ 121.374,08	3,21%	$ 3.981,00
	∑Loc,T × Q		$ 452.527,87
	LOC,0		$ 274.471,03

Fuente: elaboración propia.

El valor terminal en N = 3 asciende a $ 452.527,87 y el valor actual teórico es de $ 274.471,03. Con estos datos, se está en condiciones de calcular el valor expandido de leasing VEL₀ (ecuación 1). Este asciende a $ 551.560,62, producto de la diferencia entre el valor actual de los pagos del contrato incorporando la opción y el costo neto de adquisición (V0−VAL; $ 1.437.260 – $885.699,38). El valor relativo de la opción de compra frente al valor actual de los pagos del contrato presenta el 23,66% (L0/VAL). El costo efectivo del contrato (ecuación 2) es del 5,97%, arrojando una ventaja neta de arrendar frente a comprar. A continuación, la tabla 4 expone la rejilla binomial en el caso supuesto en el que se disponga del ejercicio de la opción de compra en cada periodo hasta el vencimiento, estimando el valor terminal en cada nodo (ecuación 4).

Tabla 4.

Valor terminal en cada nodo correspondiente al ejercicio de la opción

0	1	2	3
$ 305.800,00	$ 530.351,06	$ 470.026,46	$ 234.007,34
	$ –	$ 30.580,00	$ –
		$ –	$ –
			$ –

Fuente: elaboración propia.

De esta forma, en los nodos donde VT_t > L_OC,t se ejerce la opción de compra; caso contrario, rige el contrato de arrendamiento hasta su fecha de expiración, tal como se presenta en la tabla 5.

Tabla 5.

Valor terminal versus valor teórico ejercicio-no ejercicio opción de compra

0	1	2	3
Ejercicio	Ejercicio	Ejercicio	No ejercicio
	No ejercicio	Ejercicio	No ejercicio
		No ejercicio	No ejercicio
			No ejercicio

Fuente: elaboración propia.

3.3

Opción de cancelar anticipadamente

Continuando con el caso base, se supone que el contrato brinda la posibilidad de cancelar anticipadamente el contrato (ecuación 5) en t = 2. En este caso, VC_t es el valor correspondiente al flujo de fondos generado por el activo en el instante t, siendo en este caso de $ 1.059.840¹⁹, con un proceso estocástico del tipo GBM, donde VCt(i,j)=VCt,i×u;VCt,j×d, volatilidad σV y parámetros u, d, p y r similares al activo objeto del contrato. Seguidamente, se presenta la rejilla binomial correspondiente a la evolución de los ingresos esperados del activo, expuesta en la tabla 6.

Tabla 6.

Proceso estocástico correspondiente al valor de los ingresos del activo

0	1	2	3
$ 1.059.840,00	$ 1.320.641,96	$ 1.645.621,22	$ 2.050.570,31
	$ 850.541,52	$ 1.059.840,00	$ 1.320.641,96
		$ 682.575,56	$ 850.541,52
			$ 547.779,72

Fuente: elaboración propia.

El valor actual los pagos del leasing (VL_t) se obtienen para cada periodo actualizando a la tasa r* el flujo de pagos futuros a concretar. El contrato establece que a medida que transcurre el tiempo el valor de la penalidad decrece proporcionalmente con el valor residual Pt=P×∑t=0NBt, siendo pactada en función del valor de origen menos depreciación promedio del vehículo. En la tabla 7 se presenta la evolución del valor actual de los pagos del contrato y la penalidad.

Tabla 7.

Evolución del valor actual de los pagos del contrato y de la penalidad

T	0	1	2	3
VLt	$ –1.126.334,15	$ –1.643.328,83	$ –1.244.012,24	$ –766.828,92
Pt	$ 1.149.808,00	$ 934.219,00	$ 718.630,00	$ 503.041,00

Fuente: elaboración propia.

Por otra parte, aplicando la ecuación 3 se estima el valor de la opción de cancelación anticipada del contrato en N = 2, donde VL_t=2 = − $1.244.012, 24 y P_t = $718.630, conforme se presenta en la tabla 8.

Tabla 8.

Valor terminal y valor teórico opción de cancelar anticipadamente

N = 2(i, j)	LCA,T(i,j)	QT(i,j)	LCA,T(i,j) × QT(i,j)
2	$ 401.608,98	46,56%	$ 186.977,85
1	$ –184.172,24	43,35%	$ –79.841,02
0	$ –561.436,68	10,09%	$ –56.657,56
	∑LCA,T × Q		$ 50.479,26
	LCA,0		$ 33.837,26

Fuente: elaboración propia.

El valor de la opción de cancelación anticipada en N = 2 asciende a $ 50.479,26 y el valor teórico es de $ 33.837,26. Aplicando las ecuaciones 1 y 2, se obtiene el valor expandido de leasing VEL₀, que asciende a $ 310.925,85 (V0−VAL: $ 1.437.260 – $1.126.334,15); el valor de la opción de compra sobre el valor actual de los pagos 2,92% (L0/VAL) y el costo efectivo del contrato, que es del 16,06%. Si el contrato estipula que el derecho a ejercer la opción sea concretado en cualquier periodo hasta la fecha de vencimiento, se asimila a una opción americana. El valor terminal y la opción ejercida son expuestos en la tabla 9.

Tabla 9.

Valor terminal en cada nodo correspondiente al ejercicio de la opción

1	2	3
$ –322.686,87	$ 401.608,98	$ 503.041,00
$ –792.787,31	$ –184.172,24	$ 503.041,00
	$ –561.436,68	$ 83.712,60
		$ –219.049,20

Fuente: elaboración propia.

Adicionalmente, en la tabla 10 se presentan los nodos donde VT_t > L_CA,t, por lo tanto, se produce el ejercicio de la opción de extinción contractual de forma anticipada.

Tabla 10.

Valor terminal versus valor teórico cancelación-continuación contrato

1	2	3
Continuo	Continuo	Cancelo
Continuo	Continuo	Cancelo
	Continuo	Continuo
		Continuo
		Continuo

Fuente: elaboración propia.

En este caso, la conveniencia económica de cancelar anticipadamente se ve disipada, ya que solo en los nodos superiores del tercer año el ejercicio de la opción tiene valor.

3.4

Opción de renovación del contrato

Se supone que el contrato de arrendamiento incorpora la cláusula de renovación por un lapso similar al originalmente pactado, desde el momento N¿ = 3. En t = 3 el valor actual de los pagos futuros del arrendamiento son de $ 1.045.154,51 (VLt=4∑t=4N=6fft1+r*−t)²⁰ y el proceso estocástico correspondiente a VC_t presenta similar tratamiento al expuesto en la tabla 6. Aplicando las ecuaciones 1, 2 y 6, se obtienen los valores terminales y teóricos correspondientes a la opción, desarrollados en la tabla 11.

Tabla 11.

Valor terminal y valor teórico opción de renovación

N = 3(i, j)	LR,T(i,j)	QT(i,j)	LR,T(i,j) × QT(i,j)
3	$ 1.005.415,80	31,77%	$ 319.393,91
2	$ 0,00	44,37%	$ 0,00
1	$ 0,00	20,66%	$ 0,00
0	$ 0,00	5,24%	$ 0,00
	∑LR,T × Q		$ 319.393,31
	LR,0		$ 236.612,38

Fuente: elaboración propia.

De esta forma, el VEL₀ asciende a $ 596.481,90 (V0−VAL: $ 1.437.260 – $ 840.778,10), el valor de la opción de compra sobre valor actual de los pagos es del 20,39% (L0/VAL) y el costo efectivo del contrato es del 10,08%.

Si adicionalmente se incorpora la cláusula de opción de compra en forma excluyente de la opción de renovación en el periodo N = 3, se debe utilizar la ecuación 7 con el fin de calcular el valor terminal de la opción. Por lo tanto, se combinan 2 opciones ejerciendo aquella que arroje el máximo valor entre renovar o comprar el activo; lo anterior se expone en la tabla 12.

Tabla 12.

Valor terminal y valor teórico opción de renovación o compra

N = 3(i, j)	LCA,R,T(i,j)	QT(i,j)	LCA,R,T(i,j) × QT(i,j)
3	$ 1.005.415,8	31,77%	$ 319.393,81
2	$ 0,00	44,37%	$ 0,00
1	$ 0,00	20,66%	$ 0,00
0	$ 0,00	3,21%	$ 0,00
	∑LCA,R,T × Q		$ 319.393,31
	LCA,R,0		$ 236.612,38

Fuente: elaboración propia.

Los resultados obtenidos son similares a los de la tabla 11. Se debe tener presente que el precio de ejercicio asciende al 5,5% del valor contado y que la opción se define como el máximo valor entre: a) renovar o dejar expirar el contrato versus b) ejercer la opción de compra o dejar expirar el arrendamiento, es decir, maxmaxVCt−VLt,0;maxVt−EXt,0. De esta forma, el nodo 3 de la tabla 12 indica que se obtiene el mayor valor de la alternativa a (renovación) en relación con b ejercicio opción de compra. Los restantes nodos indican que ni la renovación ni el ejercicio de la opción generan mayor valor que la extinción del contrato del arrendamiento.

3.5

De riesgo (venture lease)

Para ilustrar el funcionamiento de esta modalidad se utilizará un caso vinculado a una empresa de base tecnológica (EBT), del sector de ciencias de la vida (life science), que se encuentra en etapa de expansión. El valor teórico de la empresa obtenido mediante el método de descuento de flujos de fondos asciende a $ 18.000.000 de dólares (US$). La firma necesita apalancar sus operaciones por una suma total de aproximadamente US$ 15.000.0000, de los cuales US$ 5.000.000 serán destinados a la adquisición del equipamiento específico. De esta forma, existen 2 alternativas para obtener el financiamiento requerido: a) financiar íntegramente con capital de riesgo e inversores privados, y b) programar una mezcla de fondos, donde la compra de los equipos se solventa suscribiendo un contrato de venture leasing. A diferencia de la primera alternativa, la suma de US$ 10.000.000 se apalanca con fondos provenientes de capital de riesgo e inversores privados; el resto es financiado mediante un acuerdo de leasing garantizado con warrants²¹.

La duración del contrato de arrendamiento es de 48 meses. Asimismo se pacta a favor del dador un rendimiento objetivo al vencimiento del 20% efectivo anual. Adicionalmente, como consecuencia del ordenamiento tributario, la renta proveniente de intereses se encuentra gravada por el impuesto a las ganancias, para lo cual se practica un acrecentamiento del rendimiento objetivo, considerando una alícuota marginal del 35%²². El canon mensual correspondiente a un préstamo de US$ 5.000.000 con tasa acrecentada del 30,77% efectivo anual asciende a US$ 194.829,34. Por lo tanto, por razones de simplicidad, se trabajará con magnitudes anuales, siendo el canon anual (12 pagos vencidos) de US$ 2.337.952,08. El colateral se erige bajo la forma de warrants convertibles en participación del patrimonio de la firma. Por lo tanto, el ejercicio de la opción de conversión en participación de capital se pacta en el mes 48, con precio de ejercicio K = US$ 600.000, valor unitario M = US$ 500.000 una cantidad de 10 warrants y valor intrínseco correspondiente a la participación unitaria de capital en el proyecto (S₀) = US$ 471.428,57²³. El proceso estocástico de S es del tipo GBM, St(i,j)=St,i×u;St,j×d. Adicionalmente, se debe considerar que el equipo se deprecia generando ahorros fiscales para su propietario en un 20% anual, la tasa libre de riesgo es del 10%, la volatilidad del valor de la firma es σ = 44,7% y, consecuentemente, se obtienen los parámetros u = 1,24 y d = 0,80, conforme se presenta en la tabla 13.

Tabla 13.

Proceso estocástico correspondiente al valor de la parte de capital

0	1	2	3	4
US$ 471.428,57	US$ 587.436,17	US$ 731.990,54	US$ 912.116,38	US$ 1.136.567,00
	US$ 378.330,29	US$ 471.428,57	US$ 587.436,17	US$ 731.990,54
		US$ 303.617,17	US$ 378.330,29	US$ 471.428,57
			US$ 243.658,49	US$ 303.617,17
				US$ 195.540,51

Fuente: elaboración propia.

Por otra parte, el valor terminal y el valor teórico de la opción se obtienen aplicando las ecuaciones 1, 2 y 8, conforme se expone en la tabla 14.

Tabla 14.

Valor terminal y valor teórico opción de canje warrant-parte de capital

N = 4(i, j)	LV,,T(i,j)	QT(i,j)	LV,T(i,j) × QT(i,j)
4	US$ 500.000,00	21,68%	US$ 108.378,59
3	US$ 131.990,54	40,37%	US$ 53.279,66
2	US$ 0,00	28,19%	US$ 0,00
1	US$ 0,00	8,75%	US$ 0,00
0	US$ 0,00	1,02%	US$ 0,00
	∑LV,T × Q		US$ 161.658,25
	LV,0		US$ 108.362,77

Fuente: elaboración propia.

De esta forma, en el nodo 4 se activa la protección para el arrendatario, ya que el valor de la parte del capital, producto de la favorable evolución del negocio, supera el límite superior de la opción S_t − K ≥ M, obteniendo el importe canjeando al warrant por la parte de capital. En los nodos 2, 1 y 0, la parte de capital asume un valor intrínseco proyectado inferior al precio de ejercicio K. En este caso, el riesgo lo asume el arrendador. Finalmente, en el nodo 3 asume el valor de la parte de capital dentro del intervalo cerrado K;M.

Desde la perspectiva del dador, el rendimiento efectivo antes de impuestos es del 30,77%, los flujos de pagos son ff₀ = US$ 5.000.000 y ff_1..4 = US$ 2.337.952,08, donde después de impuesto se alcanza la rentabilidad objetivo del 20%. Desde la perspectiva de la firma, el costo financiero neto de impuestos del 20,93% y los flujos de pagos son ff₀ = US$ 5.000.000 – US$ 108.362,77, ff_1..4 = US$ 1.869.668,85 y ff₅ = US$ 350.000. Cabe destacar que los flujos de fondos con opciones no son simétricos, en este caso la ventaja de la flexibilidad estratégica se encuentra del lado del dador. Finalmente, el valor expandido del contrato VEL₀ es de US$ 747.219 (V0−VAL y el valor de la opción de canje sobre valor actual de los pagos es del 2,61% (L0/VAL).

3.6

Con canon atado a intensidad de uso (percentage lease)

Para ilustrar la metodología de valoración correspondiente a este tipo de leasing, será analizado el caso de alquiler de un local de ventas en el rubro accesorios femeninos en Estados Unidos. Los datos correspondientes a precios promedio y porcentajes son obtenidos del Urban Land Institute (ULI)²⁴. En este caso, se establece un valor promedio fijo de arrendamiento de US$ 50 por metro cuadrado y un porcentaje α sobre el nivel de ingresos proyectados VC_t del 5%, con precio de ejercicio K = US$ 400. Las ventas promedio por metro cuadrado para este tipo de comercio son de US$ 308²⁵. La duración del contrato es de 3 años. El precio de compra por metro cuadrado, dependiendo del estado en que se ubique y las características del inmueble, para este sector es de US$ 344²⁶; con una volatilidad en los ingresos por ventas del 15% anual. Se supone que, de adquirir el bien, este se deprecia a razón del 2% anual y que el alquiler se deduce íntegramente de la base del impuesto a la renta, siendo la alícuota del 35%²⁷. Desde la perspectiva del tomador los flujos de fondos del leasing por metro cuadrado son ff₀ = US$ 344,00, ff_1..3 = US$ –34,91 y ff_4..46(VA) = US$ –19,96. El valor actual de los pagos, suponiendo una tasa del 12% efectivo anual, asciende a US$ –96,53 y el VAN de la operación del leasing es de US$ 247,47, claramente ventajoso frente a la compra.

Si la cláusula contractual de cobro a porcentaje es europea, esta se dispara en t = 3. Los ingresos siguen un proceso GBM, siendo la volatilidad de las ventas del 15%, la tasa libre de riesgo del 5% anual y los términos u = 1,16 y d = 0,86, según se expone en la tabla 15.

Tabla 15.

Proceso estocástico de ventas por metro cuadrado

0	1	2	3
$ 308,00	$ 357,84	$ 415,76	$ 483,04
	$ 265,10	$ 308,00	$ 357,84
		$ 228,17	$ 265,10
			$ 196,39

Fuente: elaboración propia.

En la tabla 16 se presenta el valor terminal y teórico inicial de la opción, el cual se obtiene aplicando las ecuaciones 1, 2, 11 y 12.

Tabla 16.

Valor terminal y valor teórico opción de suma a porcentaje

N = 3(i, j)	Lp,,T(i,j)	QT(i,j)	Lp,T(i,j) × QT(i,j)
3	US$ 43,47	25,34%	US$ 11,02
2	US$ 0,00	44,11%	US$ 0,00
1	US$ 0,00	25,59%	US$ 0,00
0	US$ 0,00	4,95%	US$ 0,00
	∑Lp,T × Q		US$ 11,02
	Lp,0		US$ 9,48

Fuente: elaboración propia.

Si se incorpora la opción de pago de arrendamiento a porcentaje, el valor expandido del contrato VEL₀ asciende a US$ 237,99 (V0−VAL = US$ 344 – US$ 9,48 – US$ 96,53) y el valor de la opción de compra sobre valor actual de los pagos es del 9,82% (L0/VAL).

Si la cláusula de cobro es americana, en todos los años se debe revisar el contrato determinando en cada periodo cuándo se dispara el valor esperado superando el nivel de ejercicio. En el ejemplo, la situación descrita precedentemente acontece en los nodos superiores de los periodos 2 y 3, según la tabla 17.

Tabla 17.

Valor terminal opción americana porcentaje

0	1	2	3
$ -	$ –	$ 15,76	$ 43,47
	$ –	$ –	$ –
		$ –	$ –
			$ –

Fuente: elaboración propia.

El valor esperado correspondiente a los flujos de fondos de la opción se obtiene mediante el producto del valor terminal por su probabilidad de ocurrencia; estos se presentan en la tabla 18.

Tabla 18.

Valor actual opción americana porcentaje

0	1	2	3	QxL(t) 0	QxL(t) 1	QxL(t) 2	QxL(t) 3
100%	63%	40%	25%	US$ 0,00	US$ 0,00	US$ 6,31	US$ 11,02
	37%	46%	44%		US$ 0,00	US$ 0,00	US$ 0,00
		13%	26%			US$ 0,00	US$ 0,00
			5%				US$ 0,00
	100%	100%	100%		US$ 0,00	US$ 6,31	US$ 11,02

Fuente: elaboración propia.

El valor actual de los pagos es US$ 15,19 que surge de US$ 6,31.e^-0,05x2 + US$ 11,02.e^-0.0x3, siendo superior al valor de la opción europea US$ 9,48. En este caso, como en el anterior, el hecho de que el arrendamiento se sujete a una corrección con base en un porcentaje hace que el costo financiero para el tomador se eleve, si se compara esta situación con un contrato similar sin opciones.

3.7

Premio por pago diferido del activo (lease with deferred payment)

Para ilustrar la presente modalidad, se analiza el contrato de alquiler de equipo informático cuya duración es de 36 meses²⁸. El leasing contiene un componente financiero escalonado del 1% los primeros 3 meses, del 2% en los meses 4 a 6 y el 3% desde el mes 7 hasta la finalización (mes 36), siendo el valor del equipo V₀ = US$ 300.000. Consecuentemente, las cuotas mensuales son de valor igual a c_1..3 = US$ 8.583; c_4..6 = US$ 8.883; c_5..36 = US$ 9.083. Por razones de exposición, las tablas se presentan con los valores anuales, de tal forma que c_año1: US$ 106.500 y c_año2,3: US$ 109.000.

El precio de ejercicio (K) es previamente pactado y surge de la diferencia entre V₀ − E(B_t), en donde EBt representa la depreciación económica estimada acumulada, siendo esta del 98% a fecha de ejercicio. El valor del activo (V_t) sigue un proceso GBM con desvalorización acelerada, por ello la tasa de depreciación se supone a razón del 30% anual. El premio que debe abonar el tomador por el derecho preferencial (DT,i,j) es de α = 5% sobre el valor del bien a la fecha de ejercicio de la opción. El mismo se paga bajo la condición de que V_t > K. De esta forma, suponiendo una volatilidad en el precio de equipos informáticos del 25%, una tasa libre de riesgo del 10% y coeficientes u = 1,28 y d = 0,77, se tiene el proceso estocástico que sigue el precio, el cual se presenta en la tabla 19.

Tabla 19.

Proceso estocástico del activo

0	1	2	3
US$ 300.000,00	US$ 269.645,34	US$ 138.492,5	US$ 17.782,80
	US$ 163.548,16	US$ 84.000,00	US$ 10.785,81
		US$ 50.948,58	US$ 6.541,93
			US$ 3.967,88

Fuente: elaboración propia.

Aplicando la ecuación 13 se obtienen los valores terminal y teórico del contrato, expuestos en la tabla 20.

Tabla 20.

Valor terminal y teórico opción de pago diferido

N = 3(i, j)	Ld,,T(i,j)	QT(i,j)	Ld,T(i,j) × QT(i,j)
3	US$ 10.893,66	26,96%	US$ 2.936,65
2	US$ 4.246,52	44,32%	US$ 1.882,01
1	US$ 214,83	24,29%	US$ 52,18
0	US$ 0,00	4,44%	US$ 0,00
	∑Ld,T × Q		US$ 4.870,83
	Ld,0		US$ 3.608,40

Fuente: elaboración propia.

En los nodos 3, 2 y 1 se ejerce la opción preferente de comprar al valor pactado K más el premio contingente D_T,(i,j). Por lo tanto, la corriente de pagos a la que se enfrenta el tomador del contrato es ff₀ = US$ 300.000; ff₁ = US$ –90.225; ff_2..3 = US$ –91.850, con una tasa del 10%, donde el valor actual de los pagos asciende a US$ 226.940. Adicionalmente, el VEL₀ es de US$ 76.668,32 (V0−VAL: US$ 300.000 + US$ 3.608,4 – US$ 226.940) y el valor de la opción de compra sobre el valor actual de los pagos es 1,59% (L0/VAL).

4

Conclusiones

Varios contratos pactan una serie de pagos fijos y eventualmente flujos contingentes. En estos tipos de instrumentos, determinar su valor requiere de conjugar las virtudes de los métodos de valuación estáticos y de pagos contingentes, donde los modelos de opciones son instrumentos empleados para tal fin. El contrato de leasing no escapa a dicha circunstancia y por ello es importante estimar su valor expandido, producto de la suma entre el valor estático y el valor de las opciones reales.

De esta forma, el presente trabajo propuso un modelo para valuar contratos de arrendamientos con opciones simples y complejas, articulando las características del método de préstamo equivalente, en el tramo estático de valor, y el modelo binomial para valorar la flexibilidad estratégica (opciones). El modelo propuesto se caracteriza por su simplicidad y versatilidad, ya que el valor actual de las opciones surge de estimar los posibles valores terminales ajustados por su probabilidad de ocurrencia descontados al tipo sin riesgo.

Dado lo anterior, el factor clave consiste en identificar las opciones contenidas en el contrato y determinar su valor terminal. Conforme fue expuesto, de todas las modalidades analizadas, exceptuando el arrendamiento de riesgo (venture leasing) y el vinculado a intensidad de uso (percentage leasing), la flexibilidad se plantea a favor del tomador del instrumento.

Adicionalmente, para realizar una correcta evaluación entre la conveniencia de arrendar o comprar, no se debe perder de vista el impacto tanto en el valor como en el costo financiero, que tienen las opciones del contrato. Cuando estas son a favor del tomador, tienen como efecto una reducción del costo financiero (aumentan el valor actual expandido del leasing), frente al mismo caso sin opciones. Si la opcionalidad se plantea a favor del dador (venture y porcentaje leasing), el valor añadido incentiva al último al empleo de este instrumento para ceder el uso y goce de activos bajo esta modalidad o eventualmente disminuir el valor de los cánones. No trabajar con una concepción de valor expandido conduce a subvaluaciones (sobrevaloraciones) del contrato, ignorando el agregado (reducción) de valor de las opciones a favor del tomador (dador).

Conflicto de intereses

El autor declara no tener ningún conflicto de intereses.