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Vol. 32. Núm. 4.
Páginas 240-251 (Octubre - Diciembre 2016)
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Vol. 32. Núm. 4.
Páginas 240-251 (Octubre - Diciembre 2016)
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Método semianalítico para la mecánica del contacto entre el eje y la chumacera en un vehículo sumergible
Semianalytical method for contact mechanic among shaft and bearing of a submarine vehicle
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J. Carrero-Blanco
Autor para correspondencia
jucamart04@yahoo.es

Autor para correspondencia.
, M. Estrems, H.T. Sánchez
Departamento de Ingeniería de Materiales y Fabricación, Escuela Técnica Superior de Ingeniería Industrial, Universidad Politécnica de Cartagena, C. Doctor Fleming, s/n 30202 Cartagena, España
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Tabla 1. Situaciones de estudio analizados para diferentes holguras
Tabla 2. Situaciones de estudio analizados para ø eje 460 holgura 2mm
Tabla 3. Diferencia entre los 3 métodos
Tabla 4. Diferencia entre MEF, Hertz y método propuesto para las holguras 0.0078mm y 4mm
Tabla 5. Valores de semiancho “a” para los 40 situaciones de estudio de IT4 ø460H4/h4
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Resumen

En el presente trabajo, se estudia y analiza el mejor ajuste del eje del propulsor de un vehículo sumergible a su chumacera, mediante el estudio de la geometría de contacto entre dichos elementos. Para realizar este estudio, se ha aplicado un método semianalítico, basado en las normas de la cuadratura de los principales valores de Cauchy, el método de la secante, y un método numérico para la determinación del mapa tensional de las superficies en contacto entre el eje y la chumacera. Asumiendo que existen imperfecciones de micras en el mecanizado de las superficies en contacto, estas son una causa posible de daños subsuperficiales que favorecen fallos por picaduras (pitting) o la formación y el crecimiento de las grietas por fatiga. Estos fallos afectan no solo el buen rendimiento propulsivo, sino también las condiciones de estanqueidad, con los consiguientes riesgos que ello supone para la integridad del buque. Los resultados permiten establecer los criterios de diseño en función de los módulos de Young, así como un mecanizado correcto y el ajuste de holguras posterior del sistema eje-chumacera, con lo cual se mejorala fiabilidad de dichos elementos.

Palabras clave:
Eje
Chumacera
Mecánica del contacto
Hertz
Método semianalítico
Ajuste
Estanqueidad
Summary

The present study analyzes the best attachment of the propeller shaft of a submersible to his bearing, studying geometry of contact between those elements. A semi-analytical method based on the rules of the quadrature of the main values of Cauchy, the secant method and a numerical method for determining a tension map have been applied to the study of the contact surfaces between shaft and bearing. It is assumed that there are imperfections in the order of microns when machining the contact surfaces, which can produce subsurface damage that is possible, linked to pitting and the growth of fatigue cracks. Such failures not only will influence on the proper propulsive performance, but also on the watertightness conditions, which is related to the risk of ship integrity loss. The results let us to set design criteria, which account for the Young's module and the importance of an adequate machining and further adjustment of clearances on the shaft-bearing system, thus improving the reliability of such elements.

Keywords:
Shaft
Bearing
Contact mechanics
Hertz
Semianalytical method
Adjustment
Watertightness
Nomenclatura
a

Semiancho de contacto

a0

Semiancho de contacto de Hertz

aNK

Coeficientes de la función de aproximación

ci

Coeficientes de Gauss

dk

Coeficientes de la función de aproximación

p (x)

Distribución de presiones en deformación plana

pmax

Presión máxima

p0

Presión máxima de Hertz

P

Presión total

P0

Carga predeterminada de diseño

F(x)

Fuerza total

ø

Diámetro en mm

E

Módulo de Young

ν

Coeficiente de Poisson

x

Variación de la posición en el eje X

s

Distancia de actuación de la carga sobre el semiespacio elástico

Uz (x)

Variación de la geometría de la superficie contacto

R

Radio equivalente entre eje y chumacera

R1

Radio eje

R2

Radio chumacera

t

Variable adimensional

δ

Diferencia de radios en la zona de contacto

U1

Desplazamiento vertical eje

U2

Desplazamiento vertical chumacera

V1

Desplazamiento horizontal eje

V2

Desplazamiento horizontal chumacera

Q(f; c)

Integral de Valores Principales de Cauchy

τmax

Tensión cortante máxima

τ0

Tensión cortante máxima para contacto hertziano

τmax

Tensión máxima

z

Distancia de actuación sobre el espesor de la chumacera

Texto completo
1Introducción

La línea del eje de la hélice o propulsor de un vehículo sumergible o submarino tiene la función principal de transmitir la potencia de la maquinaria propulsora a la hélice o propulsor. En general, el eje está sometido a importantes esfuerzos axiales y de torsión, a pares vibratorios y a fluctuaciones en las cargas hidrodinámicas que pueden generar problemas de fatiga. Además, el ajuste y el mecanizado correctos del eje y la chumacera alargan el período útil de funcionamiento y disminuyen el riesgo de fallo por fatiga superficial o picadura. Las consecuencias de un fallo en la instalación propulsora son muy graves, tanto desde el punto de vista de la integridad del buque como elemento estanco, como desde el punto de vista del coste de los propios equipos implicados (chumaceras, bocinas, reductoras, etc.), y requieren entrar el buque al dique para repararlo [1,2].

Un problema frecuente derivado de la desalineación del eje del propulsor con la chumacera es el daño que los elementos de apoyo pueden provocar en las zonas de contacto de la chumacera. Y, al no poderse añadir elementos amortiguadores (que añadirían imprecisión al apoyo), las tensiones de contacto pueden ser elevadas y llegar, en algunos casos, a desgastar e incluso a deformar parte de dicho elemento, lo cual ocasiona un daño muy costoso que compromete la seguridad del buque.

El contacto eje-chumacera se enmarca dentro de lo que se puede denominar contacto hertziano[3]. Este tipo de contacto se utiliza cuando el área de contacto es pequeña, en comparación con la dimensión de los cuerpos, y tradicionalmente ha servido para estudiar la mayoría de los tipos de contacto que se producen entre sólidos. Con la teoría de Hertz, se pueden realizar estudios diversos, como la deformación plástica de los materiales dúctiles, la evolución del daño de fractura en las capas de revestimiento [4], el contacto entre materiales duros y frágiles [5] y la deformación que se produce a través de un contacto esférico.

En cuanto al desarrollo de las ecuaciones basadas en el contacto hertziano, que estudian y analizan el mejor ajuste entre superficies cilíndricas, cabe destacar los trabajos de Ciavarella y Decuzzi [6], y de To y He [7], que dan una buena respuesta a la teoría de Hertz para zonas de contacto pequeñas y grandes holguras.

Una alternativa a los estudios anteriores es utilizar el método de elementos finitos (MEF). Dentro de este enfoque, las discretizaciones necesarias en la zona de contacto se mejoraron con el uso de herramientas de mallado automático y métodos de descomposición de dominios en pequeñas deformaciones, estudiados por Belgacen et al.[8,9]. Ambos trabajos utilizan una variante de la técnica de descomposición en el dominio no conforme. Desde este enfoque, el problema de aproximación resulta adecuado para obtener una solución discreta. Posteriormente, Hild y Laborde [10] propusieron un análisis de errores para comprobar la precisión de los métodos de desigualdad variacional, y la formulación mixta equivalente, y este último resultó más favorable que el primero, al reducir el error hasta la mitad.

Dentro de las grandes deformaciones, en que está permitido el deslizamiento de los nodos o elementos de contacto sobre los elementos del otro cuerpo en contacto, cabe destacar el trabajo de Simo et al.[11], que propusieron una formulación basada en segmentos de contacto en el contexto de una interpolación bilineal para el campo de desplazamientos. Posteriormente, Papadopoulos y Taylor [12] introdujeron la formulación de penalización mixta para aproximar las inecuaciones variacionales con el fin de obtener una solución estática para los problemas de contacto con grandes deformaciones. Más recientemente, la formulación Mortar combina métodos de elementos finitos que utilizan espacios de funciones polinomiales de aproximación de diferente grado, o uniones con mallas que no comparten con los elementos adyacentes los nodos o caras, también llamadas mallas no conformes, para la resolución de problemas de contacto no lineal, sobre los cuales se han realizado distintos estudios [13–15]. Además, los trabajos relacionados con el MEF han ido evolucionando a medida que ha aumentado la capacidad de computación de los ordenadores, que han llegado a solucionar problemas cada más complejos, donde se desarrollan modelos de fricción acoplados termomecánicamente, como los realizados por Hueber y Wolhlmuth [16] y Temizer [17]. En un trabajo más reciente, Sitzmann et al.[18] profundizan en la necesidad de combinar distintos modelos para considerar el efecto de la rugosidad mediante el estudio de leyes de contacto constitutivas en términos de multiplicadores de Lagrange. Los resultados teóricos de este trabajo muestran muy buena concordancia con los obtenidos experimentalmente.

Por otro lado, los sistemas eje-cojinete, como los utilizados en los sistemas eje-chumacera de los submarinos, han sido objeto de investigación en la última década. Entre estos, cabe destacar el estudio realizado por Albers et al.[19], que analiza la influencia de distintos parámetros en el comportamiento del sistema de contacto friccional mediante el MEF y el modelado de rugosidades mediante un algoritmo de optimización. En la misma línea, Rezaei et al.[20] han implementado una formulación mixta Lagrangiana-Euleriana y la ecuación de Archard para determinar la evolución local del desgaste y su influencia en las simulaciones realizadas en problemas de contacto entre el eje y el cojinete. Esta evolución local en cada nodo de contacto fue añadida en el remallado adaptativo del MEF. Los resultados obtenidos por el MEF se aproximaban mucho a los obtenidos experimentalmente. Aguirrebeitia et al.[21] construyeron un modelo de elementos finitos multiparamétrico, con el fin de verificar la validez de los resultados de un modelo teórico, para obtener la capacidad de carga estática de guías de cojinete de cuatro contactos. Más recientemente, Lostado-Lorza et al.[22] han presentado una metodología para mejorar el diseño y la optimización de rodamientos de rodillos cónicos, basada en la combinación del MEF con técnicas de regresión basadas en el descubrimiento de conocimiento en base de datos (KDD), para predecir la relación de contacto en función de las cargas que actúan.

Aunque los resultados presentados en estos últimos trabajos son bastante precisos, y pese a haberse reducido el número de simulaciones con el uso de las técnicas de regresión mencionadas, el inconveniente principal del MEF sigue siendo su coste computacional, especialmente cuando resulta necesario un refinamiento de la malla en la zona de contacto entre los elementos objeto de estudio y se combina con otros métodos iterativos para modelar el efecto de las rugosidades o de los microdeslizamientos en la zona de contacto, a parte de los problemas de convergencia que pueden surgir por la aparición de discontinuidades, que dificultan la reconexión entre los nodos de las superficies en contacto.

Además, el problema se complica cuando el área de contacto es muy ancha, es decir, cuando el semiancho de contacto es del orden de magnitud del radio, en que las aproximaciones de Rudolph Hertz no son válidas en la mayoría de los casos. Una alternativa al MEF es utilizar métodos semianalíticos, que estudian el contacto entre los elementos de fijación y la pieza en procesos de mecanizado para distintas geometrías de apoyo y apriete, con perfiles geométricos compuestos por tramos curvos y rectos. Estos trabajos arrojaron unos resultados muy próximos a los obtenidos por la teoría de Hertz y a los del MEF, pero presentaban un coste computacional muy reducido [23,24].

En el problema de contacto entre el eje y la chumacera, el estado tensional en la subsuperficie es generado por la distribución de presiones en la superficie, y este depende del intervalo de separación entre los dos cuerpos y la fuerza con que se presiona uno contra otro. En otras palabras, el estado tensional depende de la holgura entre el radio del eje y el radio de la chumacera, así como del nivel de rugosidad alcanzado en su mecanizado. Dependiendo de la carga a que esté sometido y a las condiciones de operación, podría alcanzar una tensión tal de cortadura en la subsuperficie que rebasara la tensión de fatiga admisible, lo cual originaría una grieta subsuperficial que posteriormente se podría prolongar hasta la superficie y provocar, incluso, el desprendimiento de material. Las normas seguidas por las diferentes sociedades de clasificación (American Bureau of Shipping, Lloyds Register of Shipping, Bureau Veritas, Det Norske Veritas y Germanischer Lloyd) [25–29] determinan el radio del eje y la chumacera o bocina, simplemente estableciendo su criterio de diseño, en unas relaciones empíricas basadas en la potencia entregada al eje, las revoluciones por minuto y la resistencia a la tracción mínima del material, sin profundizar en los problemas que son estudiados por la mecánica clásica de contacto.

El propósito de este trabajo es estudiar y analizar el mejor ajuste del eje de un vehículo sumergible a su chumacera, mediante el estudio de la geometría de contacto entre dichos elementos, a partir de la aplicación de un método semianalítico, basado en las normas de la cuadratura de los principales valores de Cauchy, el método de la secante y un método numérico, obteniendo la representación de un mapa tensional, basado en los modelos estudiados por Johnson [3], aplicado a las superficies del eje y la chumacera. En primer lugar, se obtiene la distribución superficial de presión y un mapa tensional con la determinación de sus máximos. El método semianalítico se compara con el método de Hertz y con los resultados obtenidos por el MEF, para distintos valores de holgura entre eje y chumacera, con el fin de comprobar su validez. Posteriormente, se obtiene la curva de tensión máxima en la chumacera, que será útil para mejorar las tolerancias del eje y la chumacera. Finalmente, se determinará en qué rangos se encuentra la presión máxima, para poder garantizar una vida a fatiga superficial del eje y conocer una evolución máxima del desgaste. Los resultados presentados en este trabajo ofrecen la información necesaria para mejorar el diseño de dichos elementos y comprender la importancia de un buen ajuste, de la elección de las dimensiones geométricas del sistema eje-chumacera y de los materiales resistentes, así como el control del nivel de rugosidad que se debe alcanzar en su proceso de fabricación por mecanizado.

La consecución de este objetivo se apoya en la comparación de tres métodos: a) la teoría de Hertz, cuyas expresiones son conocidas; b) la teoría planteada mediante el contacto cilíndrico aproximándola a una parábola, basada en un trabajo presentado por Ciavarella [6], y c) la teoría del contacto basada en la separación mostrada en la ecuación (15), que representa un eje dentro de un cilindro y se deduce de la figura 5. Esta última no utiliza la aproximación parabólica, sino la expresión exacta de separación, según la figura 5. Esta solución se denomina en el presente trabajo contacto tipo placa o interior bicilíndrico. El desarrollo de las expresiones de ambas teorías basadas en el contacto cilíndrico se expone en el apartado titulado “Deducción de ecuaciones”.

2Planteamiento del problema

Las consecuencias de un fallo en la instalación propulsora son muy graves, tanto desde el punto de vista de la integridad del buque como elemento estanco, como desde el punto de vista del coste de los propios equipos implicados (chumaceras, bocinas, reductoras, etc.), y requiere la reparación del buque mediante su entrada al dique para la alineación y el taqueado completo de toda la instalación propulsora.

Contrariamente a lo que puede parecer a primera vista, una alineación correcta de los ejes no es aquella en que todos los cojinetes de apoyo de la instalación son colineales, sino aquella en que los puntos de apoyo tienen su posición bien definida y situada. Además, es muy importante, desde el punto de vista del diseñador, conocer cuáles son los valores óptimos en cuanto a la geometría y a las características de los materiales elegidos. Las sociedades de clasificación, mediante formulaciones empíricas, exigen realizar cálculos para determinar las dimensiones geométricas del eje y la chumacera, así como su alineación, que permitan determinar las posiciones adecuadas de los cojinetes, con el objetivo principal de alcanzar unos valores aceptables, tanto de los esfuerzos como de su distribución, a lo largo de toda la línea de ejes. Pese a ello, los criterios de diseño de las geometrías más adecuadas y la elección de los materiales deben sustentarse en unos valores críticos de tolerancias, que han de determinarse con precisión mediante este método semianalítico, que disminuye el número de las operaciones que hay que realizar y simplifica el cálculo de las mismas, frente a otros métodos de cálculo, como el MEF, que posibiliten el ajuste más fino posible, para mejorar la eficiencia mecánica, lo cual se traducirá en una disminución de las vibraciones –que son, en definitiva, fuentes de ruido que transmiten al medio su potencia sonora– y favorecerá el alargamiento de su vida útil.

El caso que se va a estudiar es un caso de deformación plana, en el cual se determinará la influencia de la holgura, desde el punto de vista conceptual, y de los índices de tolerancia en la fabricación, en lo relativo a la distribución de presiones de contacto del conjunto eje-chumacera.

Cuando se trabaja con ajustes finos, como suele ser el caso del ajuste eje-chumacera, el semiancho de contacto es elevado y, por tanto, la aproximación parabólica de Hertz resulta insuficiente. Para superar este inconveniente, se ha realizado primero una aproximación cilíndrica de contacto, manteniendo el concepto de cilindro equivalente de Hertz, y se ha utilizado la geometría de aproximación eje-agujero, que prescinde del concepto de cilindro equivalente. Este último es el método semianalítico que se propone en este trabajo.

Para demostrar la utilidad del nuevo método, inicialmente se ha partido de unos valores fijados previamente en el caso de un vehículo sumergible, asumiendo que el elemento de apoyo, la chumacera, es de un material que tiene un comportamiento linealmente elástico (bronce al estaño CuSn12, con un módulo de Young de 110 KN/mm2 y un coeficiente de Poisson ν de 0,31), con un radio interior de partida, que variará en función del radio del eje del propulsor y de la holgura existente entre ambos, y una longitud de apoyo de 700mm, y que el eje del propulsor es de un material mucho más rígido (acero de alta resistencia, cuyo módulo de Young es de 205 KN/mm2 y cuyo radio es 230mm). Se estudian, por un lado, la influencia de la holgura en el comportamiento mecánico del sistema, con diez casos de estudio, partiendo de un valor inicial de holgura entre radios de 4mm, que va disminuyendo progresivamente, tal como se muestra en la tabla 1. Se obtendrán principalmente como resultados los valores comparativos obtenidos al resolver dicho método con la expresión propuesta en la teoría de Hertz [1], basada en un trabajo presentado por Ciavarella [11], y la ecuación propuesta en este trabajo.

Tabla 1.

Situaciones de estudio analizados para diferentes holguras

Casos  Holgura entre radios 
4,000mm 
2,000mm 
1,000mm 
0,500mm 
0,250mm 
0,125mm 
0,063mm 
0,031mm 
0,016mm 
10  0,008mm 

Además, se resuelven dos casos de semiancho de contacto (el de mayor y el de menor zona de contacto), realizados por el MEF, con el fin de demostrar que el método semianalítico presentado ofrece suficiente precisión. Una vez demostrada la utilidad de este nuevo método, se resuelven tres casos, basados en los índices de tolerancia (IT) según la ISO 286-1988, tal como se aplican en los estándares de diseño en ingeniería, siendo ø460H16/h16 (chumacera/eje) y ø460H4/h4 los casos que se han elegido, el último de los cuales es el más exigente en cuanto a tolerancias de fabricación. Los índices de tolerancia que no incluyen piezas de gran precisión se hallan entre IT4 e IT18. El nivel de calidad del acabado superficial, o nivel de tolerancia exigido, está relacionado directamente con las alturas del perfil de rugosidad, que están presentes en la superficie de la pieza tras el proceso de mecanizado. Estas han de ser menores que el valor de tolerancia que se quiere obtener.

Con el fin de realizar un análisis representativo de las situaciones que podrían darse en los casos reales de fabricación, relativos a los valores de rugosidad que se pueden alcanzar para cada nivel de tolerancia estudiado, se han estimado aleatoriamente 40 situaciones posibles. Mediante la función de distribución normal inversa en una hoja de cálculo, se han simulado las variaciones debidas que se podrían dar como casos de incertidumbre en el mecanizado de las piezas a que se ha hecho referencia, como efecto de la rugosidad encontrada en la superficie del material, aplicando una desviación estándar definida para cada caso, suponiendo que las 40 situaciones posibles se hallan distribuidas normalmente, por lo cual se establece una cantidad media igual a la inicial (μ) y una desviación estándar σ, de manera que, si se le resta y se le suma a la cantidad media 3 veces σ, se obtiene el 99,74% del área bajo la curva de la distribución, tal como se muestra en la figura 1. Se ha partido de una carga de diseño inicial P0, calculada a partir de las reacciones estáticas debidas al peso del propulsor y del eje, como se muestra en la figura 2, y se ha obtenido una carga de 6.190kg por metro lineal. El tipo de contacto es circular y se corresponde con el resuelto por la teoría de Hertz. Esta teoría, junto con el MEF, será utilizada como modelo de validación de los resultados obtenidos por el método semianalítico desarrollado en el presente trabajo.

Figura 1.

Distribución 6σ (campana gaussiana).

(0,05MB).
Figura 2.

Reacciones debidas al peso del conjunto eje-propulsor.

(0,09MB).

En la tabla 2, se indican los valores geométricos de rugosidad de uno de los casos estudiados de IT, ø460H16/h16.

Tabla 2.

Situaciones de estudio analizados para ø eje 460 holgura 2mm

Casos  Radio Eje [mm]  Radio Chumacera [mm]  Casos  Radio Eje [mm]  Radio Chumacera [mm] 
227,9476  231,8854  21  228,1735  232,0358 
227,8924  231,8723  22  227,9287  231,8862 
228,0344  232,0548  23  227,8320  232,0420 
227,9605  231,8531  24  228,0340  231,9878 
228,1972  232,0507  25  227,9558  232,0567 
227,9596  232,0880  26  228,1126  232,0160 
228,0388  231,8235  27  227,9894  232,0182 
228,0437  232,0590  28  227,8893  231,9446 
228,0346  231,9643  29  228,0375  231,8803 
10  228,0617  232,0146  30  228,2948  231,9442 
11  227,9243  231,9531  31  227,7928  232,0842 
12  228,0082  232,0952  32  227,9742  232,0012 
13  228,0827  232,0187  33  227,9871  232,1161 
14  228,1145  232,0040  34  227,8811  231,8998 
15  227,9036  231,9944  35  228,0738  231,9677 
16  227,8970  231,9852  36  227,9947  231,9992 
17  227,9061  231,9382  37  227,9568  232,0523 
18  227,9242  232,0844  38  228,0500  232,0221 
19  227,8404  231,7594  39  228,0903  232,1351 
20  228,1012  232,0777  40  227,8271  232,0304 

Como consecuencia de la variación de los radios del conjunto eje-chumacera para cada uno de los casos de la tabla 2, se obtienen distintas distribuciones de la presión de contacto para diferentes semianchos a. Partiendo de la carga de diseño inicial P0, y utilizando la metodología que se describe a continuación, se resuelven los problemas planteados de tolerancias en el diseño del eje de cola de un vehículo sumergible.

3Deducción de las ecuaciones

Por tanto, partimos de las ecuaciones de la mecánica del contacto, para el problema bidimensional de una distribución de presiones p(x), sobre un semiespacio elástico [3] (representado en la figura 3), donde a son los semianchos de contacto; Ux y Uz, los desplazamientos tangencial y normal a la superficie, y p(x) y q(x), las distribuciones de presión normal y tangencial, respectivamente.

Figura 3.

Sección transversal del semiespacio elástico.

(0,07MB).

En el caso particular de contacto entre el apoyo del eje del propulsor y la chumacera, la fuerza de fricción es muy pequeña, comparada con las fuerzas de apriete normal, de modo que se puede despreciar la distribución tangencial de presiones q(x) y, debido a la alta rigidez del eje con respecto a la chumacera, se puede asumir que el desplazamiento normal del semiespacio elástico (chumacera), U’z(x) (siendo U’z = dUz/dx), sigue la geometría del eje, es decir, se suponen las condiciones de contorno iniciales de clase II establecidas por Johnson [3] (v. fig. 4). Por tanto, las ecuaciones que rigen el contacto se reducen a:

Figura 4.

Eje-chumacera. Detalle del contacto circular con un radio equivalente.

(0,08MB).
3.1Primera solución basada en la teoría de Hertz para contacto cilíndrico

Dentro de los límites de integración de estas ecuaciones acopladas, aparece un punto de singularidad cuando a=x, y es por ello que se denominan ecuaciones integrales singulares.

En el caso de la parábola de contacto cilíndrico:

donde R es el radio equivalente del cilindro en contacto con una placa plana o un interior bicilíndrico, y Uz, como se ha anotado anteriormente, es el desplazamiento en z entre las dos superficies en contacto

La ecuación (1) se puede describir mediante los valores principales de Cauchy de primera clase, que pueden resolverse a través de la solución propuesta por Söhngen (1954) o Mikhlin (1948) [3], que se puede simplificar si la región cargada es simétrica, la cual queda expresada del siguiente modo:

donde E es el módulo de Young equivalente y a es el semiancho de contacto.

Aplicando la condición de Boussinesq, cuando la derivada U??z(x) es finita en toda la zona de contacto, el valor de la presión cae gradualmente a 0 en los extremos de la misma. A partir de esta condición (p(x)=0 para x=±a), se obtiene la constante C de la expresión (4) y, operando convenientemente, se llega a la expresión (20), que será fundamental para obtener la distribución de presiones a partir del semiancho de contacto a, y la geometría del apoyo U??z(x) en el desarrollo matemático que se describe a continuación

para que el denominador común no sea infinito, haciendo un cambio de variable:

P(x) es simétrica si U??z(x) es antisimétrica.

Si se realiza este otro cambio de variable:

la ecuación (8) queda expresada del modo siguiente:

De igual manera, es necesario evaluar otra función antisimétrica. En el presente trabajo, se han desarrollado las ecuaciones que posteriormente se resuelven mediante los métodos propuestos.

4Segunda solución sin aproximaciones parabólicas

Si se utilizase la ecuación del cilindro sin aproximaciones parabólicas, se obtendrían las ecuaciones siguientes:

Al resolver dichas ecuaciones mediante la metodología propuesta, se obtienen resultados en que las curvas de presión se asemejan a las obtenidas por el método de Hertz, para semianchos de contacto pequeños (a<<) y holguras grandes (h>>), siendo a el semiancho de contacto y h la holgura entre el eje y la chumacera. Este resultado es lógico debido a que el arco de una circunferencia se asemeja a una parábola, cuando el ángulo del sector es pequeño. La teoría de Hertz establece, como hipótesis de partida, que los cuerpos se comportan como sólidos elásticos semiinfinitos, sometidos a presiones distribuidas sobre la superficie circular de contacto y donde el área de contacto es pequeña, en comparación con las dimensiones de los cuerpos. Es decir, el semiancho de contacto a es, como máximo, la centésima parte del radio del cilindro.

5Tercera solución por deducción geométrica en contacto de tipo placa o interior bicilíndrico

En la figura 5, se muestra en detalle la región de contacto de tipo placa o interior bicilíndrico, para poder plantear las ecuaciones que conduzcan a la obtención de la expresión del método semianalítico expuesto en la subsección anterior, y que coincide con Hertz cuando a es muy pequeño.

Figura 5.

Eje-chumacera. Detalle de los desplazamientos en la región de contacto.

(0,11MB).

Es preciso recordar que la teoría de Hertz muestra una curva de distribución de presiones diferente cuando los valores de a no son tan bajos, es decir, a ≈ R/100, sino que son del orden de magnitud del radio. En la figura 5, los puntos 1 y 2 son los pertenecientes a los dos cuerpos que acaban estando en contacto, eje y chumacera, es decir, coinciden después de haber aplicado la presión. Por tanto, los ángulos θ1 y θ2 son los ángulos de posición de los puntos 1 y 2, respectivamente, cuando los sólidos sin deformar aún no han entrado en contacto. Por otro lado, U1 y U2 son los desplazamientos radiales de los puntos 1 y 2, respectivamente, y V1 y V2 son los desplazamientos tangenciales. Teniendo en cuenta la geometría descrita por esta figura, y realizando un sumatorio de desplazamientos en sentido radial, se puede obtener el desplazamiento producido en la región de contacto a través de la ecuación (15)

siϕ2=ϕ1=ϕV1=V2=0, la ecuación queda expresada de la forma siguiente:

Asumiendo que el eje puede considerarse rígido con respecto a la chumacera y despreciando δ por ser de un orden de magnitud muy inferior en comparación con la diferencia de radios, se tiene:

Y, realizando la derivada, se obtiene la expresión siguiente:

Posteriormente, se introduce el siguiente cambio de variable:

Finalmente, se obtiene la expresión que proporciona la distribución de presión de contacto, expresada en función de la restricción geométrica descrita anteriormente, y la elasticidad en la zona de contacto, suponiendo un semiancho de contacto a

La primera de las integrales mostradas es resuelta siguiendo a Mikhlin, mientras que la segunda integral impropia se resuelve por aproximaciones, ya que el límite está en 1, donde el valor de la función se hace infinito.

6Metodología

La metodología que se sigue para obtener el semiancho de contacto a, la distribución de presiones que satisfaga la condición de que la carga total sea P0, y las restricciones geométricas junto con las ecuaciones de contacto expresadas en la ecuación (25), consta de distintas etapas. Por un lado, se necesita un método numérico para resolver el valor principal de Cauchy de la primera integral de la expresión (25), ya que su singularidad (x/a) se encuentra dentro de los límites de integración. El método utilizado para esta integración fue elaborado por Hasegawa [30]. Por otro lado, es preciso integrar la función de presión para obtener la fuerza total, lo cual se realiza mediante la cuadratura de Legendre. Como la fuerza total es un dato del problema, el ajuste del semiancho de contacto a para que la integral de la presión sea la fuerza total se realiza mediante el método de la secante. Como resultado de la combinación de estos métodos, se obtiene el semiancho de contacto y, a partir de este, la distribución de presiones, la presión máxima y el mapa tensional en la subsuperficie.

7Cuadratura del valor principal de Cauchy

El método desarrollado se estructura siguiendo la secuencia que se expone a continuación, para poder resolver el problema planteado y determinar la distribución de presiones sobre la chumacera.

En primer lugar, se calculan las integrales impropias mostradas en la expresión (25), que son valores principales de Cauchy, suponiendo un semiancho de contacto a y aplicando el método automático de cuadratura desarrollado por Hasegawa et al.[30,31]. Este método permite aproximar integrales de valor principal de Cauchy del tipo que se muestra en la ecuación (26)

El cálculo de esta integral, se realiza aproximando la función f(t) mediante una suma de polinomios de Chebyshov, que permite eliminar la singularidad calculando los coeficientes mediante una metodología similar a la transformada rápida de Fourier, tal como se describe en [23].

Por tanto, la fórmula de integración aproximada se puede expresar:

donde la comilla superior ‘denota que el primer término del sumatorio está dividido por dos. Los coeficientes dk se calculan utilizando la siguiente relación recurrente:
donde los coeficientes aKN, pertenecientes a los polinomios de Chebyshov, se calculan mediante la fórmula siguiente:

8Cuadratura de Legendre

El valor de la carga total P, que se ejerce en el contacto entre el eje y la chumacera, se calcula integrando la distribución de presiones mediante la cuadratura de Legendre de 10 puntos, mostrada en la ecuación siguiente:

9Método de la secante

Una vez resuelta la ecuación (30), y para poder resolver la ecuación (25), es necesario determinar, tal como se describe en [24], el semiancho de contacto a y la derivada de la superficie del elemento de fijación U’z(x). Puesto que se pretende calcular el contacto para una carga P0 predeterminada por las condiciones de diseño establecidas para la propulsión del buque, el semiancho de contacto a, que depende de la geometría y la fuerza total, se calcula mediante el método de la secante haciendo nula la función F(a):

9.1Método numérico para la determinación del mapa tensional

Finalmente, para obtener el mapa tensional en la subsuperficie debido al contacto entre la herramienta y la pieza, se ha utilizado el algoritmo desarrollado por Estrems et al. [32], basado en la discretización de una distribución de presiones como superposición de distribuciones triangulares, que se resuelve mediante las ecuaciones siguientes:

Una vez resueltas estas ecuaciones, se obtiene el valor de las tensiones en una matriz de puntos a partir de la cual puede realizarse la representación gráfica del mapa tensional, representando las líneas con idéntica tensión tangencial principal mediante interpolación. De este mapa, se obtienen también los valores máximos de la tensión tangencial y su localización. La representación gráfica de los mapas tensionales se ha realizado mediante el programa de ordenador MATLAB© 2013, a partir de valores de la tensión cortante principal en una matriz de puntos.

10Resultados y discusión

Primeramente, con objeto de validar el método propuesto comparándolo con la teoría de Hertz, se muestran en la tabla 3 los resultados de tensión cortante máxima principal para diferentes holguras entre el radio del eje y la chumacera, obtenidos mediante tres métodos, la teoría de Hertz, la de contacto cilíndrico [6] y la basada en el contacto cilíndrico con expresión exacta de separación, denominada, en este caso, de contacto de tipo placa o interior bicilíndrico. En dicha tabla, se muestran los valores obtenidos de semiancho de contacto a, la diferencia porcentual entre el método basado en un contacto de tipo placa o interior bicilíndrico con Hertz y el basado en un contacto cilíndrico con Hertz, así como los valores adimensionales máximos de las tensiones tangenciales.

Tabla 3.

Diferencia entre los 3 métodos

Holgura (diferencia de radios) [mm]  Radio Eje [mm]  Radio Chumacera [mm]  a (semiancho)
met. Placa [mm] 
a (semiancho) Hertz [mm]  a (semiancho) met. Cilind. [mm]  % Dif. Met. Aprox. Placa- Hertz  % Dif. Met. Aprox. Cilin.- Hertz  τao-Placa  τao-Hertz  τao-Cilíndrica 
4,000  230,000  234,000  5,812  5,792  5,857  0,35%  1,12%  0,29392098  0,294239692  0,293905458 
2,000  230,000  232,000  8,289  8,208  8,338  0,98%  1,56%  0,293937033  0,294239692  0,293905456 
1,000  230,000  231,000  11,942  11,825  11,980  0,98%  1,29%  0,293970986  0,294239692  0,293905456 
0,500  230,000  230,500  17,045  16,874  17,095  1,00%  1,29%  0,294038953  0,294239692  0,293905455 
0,250  230,000  230,250  24,248  24,013  24,356  0,97%  1,41%  0,294175609  0,294239692  0,293905455 
0,125  230,000  230,125  34,219  34,008  34,483  0,62%  1,38%  0,294443334  0,294239692  0,293905455 
0,063  230,000  230,063  48,069  48,109  48,759  −0,08%  1,33%  0,294966348  0,294239692  0,293905455 
0,031  230,000  230,031  67,128  68,075  68,990  −1,41%  1,33%  0,296009726  0,294239692  0,293905455 
0,016  230,000  230,016  92,612  96,305  97,572  −3,99%  1,30%  0,297990503  0,294239692  0,293905455 
0,008  230,000  230,008  125,189  136,213  138,009  −8,81%  1,30%  0,301669133  0,294239692  0,293905455 

Se puede observar que los resultados obtenidos por el método semianalítico con geometría de tipo placa o interior bicilíndrico propuesto en este trabajo son muy próximos a los obtenidos mediante la teoría de Hertz (por ejemplo, 0,35% de error en el cálculo del semiancho a para el caso de holgura de 4mm), cuando las zonas de contacto son pequeñas y las holguras, grandes. Se observa, además, que dicho error se incrementa significativamente a medida que la holgura disminuye. Por otro lado, el método basado en el contacto cilíndrico posee un error algo mayor para cualquier holgura propuesta con respecto a Hertz.

Además, la figura 6 muestra gráficamente la variación del semiancho de contacto a, con respecto a la holgura h, y en las figuras 7 y 8 se representa la comparación de la distribución de presiones obtenida con respecto a la teoría de Hertz y el método propuesto en este trabajo, para los casos correspondientes a los dos extremos de los diez casos propuestos (es decir, øeje 460 con holgura máxima de 4mm y mínima de 0,0078mm). Se puede apreciar claramente la similitud en el primer caso, y una clara diferencia en el segundo. En la figura 8, se observa una mayor diferencia cuando la holgura es pequeña.

Figura 6.

Valores del semiancho a [mm] con respecto a la holgura h [mm].

(0,11MB).
Figura 7.

Distribución de presiones. Perfil circular. Comparación con Hertz. Holgura de 4mm.

(0,1MB).
Figura 8.

Distribución de presiones. Perfil circular. Comparación con Hertz. Holgura de 0,0078mm.

(0,1MB).

Por otro lado, debido a esta diferencia en el caso de h = 0,0078mm, se ha considerado conveniente utilizar, además, el MEF con el fin de contrastar los resultados obtenidos mediante el método semianalítico con el contacto de tipo placao interior bicilíndrico propuesto. Para ello, se ha empleado el software ANSYS R14.5®, donde se han modelizado las piezas en 3D, dividiendo la chumacera en dos partes mediante el plano XZ, siguiendo con un mallado en cuadrículas de 10mm de tamaño.

El contacto existente entre el eje y la chumacera se ha modelado con el tipo de contacto Bonded (multiple to multiple), para la zona de contacto de piezas, y el tipo No separation (multiple to multiple) para la zona de unión de las dos piezas que forman la chumacera (zonas de pieza superior e inferior). Los elementos que forman el “par de contacto” han sido del tipo TARGE 170 para la superficie objeto y CONTA 174 para la superficie de contacto. En la figura 9, se puede observar el resultado de las tensiones principales máximas considerando un plano XY en la zona de contacto, así como la amplia extensión que ocupa el semiancho de contacto en la zona de presión máxima (representado de color gris oscuro).

Figura 9.

Eje-chumacera. Detalle de las tensiones en la región de contacto para una holgura de 0,0078mm y detalle del mallado.

(0,26MB).

En la tabla 4, se muestran los resultados comparativos del método propuesto, Hertz y el MEF para los dos casos de holgura mencionados. Se observa que la diferencia entre el método propuesto y el MEF está por debajo del 2% para la predicción de la tensión máxima.

Tabla 4.

Diferencia entre MEF, Hertz y método propuesto para las holguras 0.0078mm y 4mm

Holgura (diferencia de radios) [mm]  Radio Eje [mm]  Radio Chumacera [mm]  A (semiancho) met. Placa [mm]  A (semiancho) Hertz [mm]  A (semiancho) MEF [mm]  P(x) [N/mm2] Hertz  P(x) [N/mm2] Placa  τao-Placa  τao-Placa [N/mm2]  τao-Hertz  τao-Hertz [N/mm2]  τao-MEF [N/mm2] 
230,000  234,000  5,812  5,792  5,871  26,0163965  26,217881  0,29392098  7,70598529  0,29423969  7,65505649  7,6425 
0,0078125  230,000  230,008  125,189  136,213  132,020  1,21579002  1,2576891  0,30166913  0,37940598  0,29423969  0,35773368  0,37448 

Para poder comparar las curvas de presión obtenidas mediante los diferentes métodos estudiados, se han adimensionalizado la presión total P y la dimensión x con respecto a la referencia definida por los valores máximos de presión P0 y semiancho de contacto a0, respectivamente. Estos han sido obtenidos a partir de todos los valores aleatorios generados en cada caso de estudio. De esta forma, se ha obtenido la gráfica de la figura 10, que representa (P/P0) con respecto a (x/a0) en cada uno de los diez casos de holgura planteados en la tabla 1. Se observa, además, que el pico de presión en a = 0 aumenta a medida que disminuye el semiancho de contacto a y, por tanto, la fuerza por unidad de longitud distribuida.

Figura 10.

Curvas de distribución de presiones adimensionalizadas para diferentes holguras.

(0,19MB).

Una vez validada la idoneidad de este nuevo método, basado en un contacto de tipo placa o interior bicilíndrico, se muestran los resultados del problema de ingeniería propuesto como ejemplo, relativo a los índices de tolerancia aplicados en el diseño. De igual manera, en las figuras 11 y 12, se representan dos casos correspondientes al extremo de menor exigencia (ø460H16/h16) y al de mayor exigencia (ø460H4/h4). El primer caso, IT16 (Ajustes de superficies libres), tiene un ancho de tolerancia de 4.000μm, mientras que, para un IT4, se exige una tolerancia de 20μm.

Figura 11.

Distribución de presiones. Perfil circular. Comparación con Hertz. ø460H16/h16 (holgura grande).

(0,09MB).
Figura 12.

Distribución de presiones. Perfil circular. Comparación con Hertz. ø460H4/h4 (holgura pequeña).

(0,09MB).

Se puede observar, de forma análoga a lo expuesto anteriormente a propósito de la diferencia de holguras, que el IT define una holgura determinada. La figura 11 representa, para el caso IT16, las curvas obtenidas mediante Hertz, y el método de aproximación propuesto de contacto de tipo placa o interior bicilíndrico, del valor de presión adimensionalizada P/Pmáx (donde Pmáx es el valor de pico de presión máxima, que representa el área encerrada bajo las curvas de presión). La diferencia entre las dos gráficas es del 0,33% para todo el intervalo de contacto, si bien alcanza los valores más altos en los extremos, con una relación a/R de 0,25, y la diferencia aumenta conforme disminuye el índice de tolerancia. En el caso de IT4, la diferencia es de 6,81%, con un a/R de 3,59. Lógicamente, como consecuencia de las hipótesis establecidas por Hertz para elaborar su teoría, los errores o diferencias en los resultados entre ambos métodos aumentan a medida que aumenta la relación a/R, como también sucede en [6].

A modo de ejemplo, en la tabla 5 se presentan los valores obtenidos de semiancho de contacto y los máximos de tensión tangencial adimensionalizada (tensión equivalente subsuperficial cortante), para el caso IT4 ø460H4/h4, tanto para el método propuesto como para el basado en la teoría de Hertz. De forma análoga, se han calculado los 40 casos de holgura para cada IT propuesto. Se aprecia que la tensión máxima tangencial, mostrada adimensionalmente, varía en función de la holgura en el caso del método propuesto. En cambio, aplicando la teoría de Hertz, el comportamiento es totalmente independiente con respecto a la variación de la holgura, con lo cual se pierde precisión cuando la holgura es mínima.

Tabla 5.

Valores de semiancho “a” para los 40 situaciones de estudio de IT4 ø460H4/h4

Casos  Radio Eje[mm]  Radio Chumacera [mm]  a (semiancho)
met. Aprox
Placa [mm] 
τao. Met.
Placa [adim] 
A
(semiancho)
Hertz [mm] 
Tao Hertz
[adim] 
Casos  Radio Eje
[mm] 
Radio Chumacera [mm]  a (semiancho)
met. Aprox
Placa [mm] 
τao. Met. Placa [adim]  a
(semiancho)
Hertz [mm] 
Tao Hertz
[adim] 
229,9900  230,0108  81,1606  0,2972  83,3446  0,2942  21  229,9886  230,0098  80,6265  0,2971  82,7326  0,2942 
229,9907  230,0103  83,5388  0,2974  86,0091  0,2942  22  229,9904  230,0101  83,2816  0,2974  85,7312  0,2942 
229,9899  230,0101  82,4044  0,2973  84,7701  0,2942  23  229,9914  230,0097  86,2974  0,2977  89,1060  0,2942 
229,9905  230,0094  85,0228  0,2976  87,6146  0,2942  24  229,9912  230,0112  82,7351  0,2973  85,1406  0,2942 
229,9903  230,0104  82,5738  0,2973  84,9643  0,2942  25  229,9902  230,0093  84,4981  0,2975  87,0457  0,2942 
229,9898  230,0097  83,0233  0,2974  85,4520  0,2942  26  229,9901  230,0094  84,2618  0,2975  86,7903  0,2942 
229,9905  230,0100  83,7884  0,2974  86,2787  0,2942  27  229,9905  230,0104  83,0072  0,2974  85,4346  0,2942 
229,9907  230,0104  83,3388  0,2974  85,7930  0,2942  28  229,9902  230,0103  82,6174  0,2973  85,0135  0,2942 
229,9899  230,0096  83,3520  0,2974  85,8072  0,2942  29  229,9900  230,0099  82,9190  0,2974  85,3393  0,2942 
10  229,9901  230,0100  82,8475  0,2974  85,2620  0,2942  30  229,9890  230,0102  80,4801  0,2971  82,5648  0,2942 
11  229,9898  230,0101  82,1072  0,2973  84,4295  0,2942  31  229,9894  230,0090  83,4955  0,2974  85,9623  0,2942 
12  229,9904  230,0107  82,2461  0,2973  84,5887  0,2942  32  229,9891  230,0105  80,3540  0,2971  82,4202  0,2942 
13  229,9901  230,0103  82,3163  0,2973  84,6692  0,2942  33  229,9899  230,0102  82,2029  0,2973  84,5392  0,2942 
14  229,9902  230,0107  81,7870  0,2973  84,0625  0,2942  34  229,9908  230,0108  82,7679  0,2973  85,1760  0,2942 
15  229,9901  230,0098  83,4604  0,2974  85,9243  0,2942  35  229,9893  230,0097  82,0502  0,2973  84,3642  0,2942 
16  229,9897  230,0090  84,0432  0,2975  86,5541  0,2942  36  229,9901  230,0102  82,5540  0,2973  84,9415  0,2942 
17  229,9898  230,0088  84,7671  0,2975  87,3364  0,2942  37  229,9889  230,0099  80,9154  0,2972  83,0636  0,2942 
18  229,9910  230,0090  86,9665  0,2977  89,8889  0,2942  38  229,9905  230,0104  82,9385  0,2974  85,3604  0,2942 
19  229,9905  230,0100  83,6059  0,2974  86,0816  0,2942  39  229,9892  230,0107  80,1470  0,2971  82,1830  0,2942 
20  229,9897  230,0103  81,7208  0,2973  83,9867  0,2942  40  229,9904  230,0100  83,4996  0,2974  85,9667  0,2942 

A continuación, las figuras 13 y 14 presentan las curvas de distribución de presiones adimensionalizadas (P/P0), en función del semiancho de contacto a para los casos de estudio ø460H16/h16 y ø460H4/h4. Se aprecia, igual que en la figura 10, cómo aumenta el valor máximo del pico de presión en a = 0.

Figura 13.

Curvas de distribución de presiones para diferentes semianchos de contacto a [ø460H16].

(0,12MB).
Figura 14.

Curvas de distribución de presiones para diferentes semianchos de contacto a [ø460H4].

(0,13MB).

La figura 15 representa las líneas de contorno del mapa de tensiones, de los resultados obtenidos por el método de Hertz y por el método aproximado propuesto con contacto de tipo placa o interior bicilíndrico, para el caso de una holgura de 0,0078mm. Se ha escogido este caso porque es el que mayor diferencia presenta entre ambos métodos, obtenido a partir del semiancho de contacto crítico. Esta representación permite establecer los valores máximos de tensión equivalente subsuperficial cortante, a partir de un espesor dado de chumacera, y se observa que los valores máximos se encuentran distantes de la superficie. Aplicando el método de Hertz, la tensión máxima tangencial tiene un valor adimensionalizado de 0,2942 y está localizado en un semiancho de contacto adimensionalizado de x/a = 0 y un espesor adimensionalizado de z/a=0,76. Para el método aproximado, la tensión máxima tangencial tiene un valor adimensionalizado de 0,3017 y está localizado en x/a = 0 y z/a=0,84. La figura 16 representa en 3D estas mismas líneas de tensión para el método aproximado con contacto de tipo placa o interno bicilíndrico.

Figura 15.

Líneas de contorno. Mapa tensional. Arriba: Método de Hertz/Abajo: Método aproximado con contacto de tipo placa.

(0,28MB).
Figura 16.

Mapa tensional. Método aproximado con contacto de tipo placa o interno bicilíndrico.

(0,26MB).

Por tanto, siguiendo el criterio de Tresca, con las tensiones tangenciales máximas obtenidas para todos los casos de estudio, se puede conocer si las geometrías de estudio superan la tensión tangencial máxima permitida para dicho material. En este caso, se puede incurrir en un fallo del material, al sobrepasar el límite elástico, y producir daños permanentes en la chumacera o eje de cola del submarino. Un criterio ampliamente aceptado establece, como límite de resistencia a la fatiga, el que toma la mitad del valor del límite de fluencia, expresado por:

Una vez obtenidos los resultados de los 40 casos de los 3 IT previstos –ø460H16/h16 (chumacera/eje), ø460H11/h11 y ø460H4/h4)–, mediante una hoja de cálculo se puede establecer la media, la desviación estándar y la distribución normal a dichos valores y se pueden representar las curvas adimensionalizadas de distribución con el límite de resistencia establecido, cuyo valor es 1. Los valores que excedan dicho valor pueden incurrir en fallo por fatiga. En la figura 17, se muestra el ejemplo que se acaba de describir.

Figura 17.

Distribuciones normales de las tensiones equivalentes subsuperficiales cortantes para IT4, IT11 e IT16.

(0,06MB).

Por tanto, se aprecia que, a mayor índice de tolerancia IT, los valores de tensión aumentan, y es necesario mejorar las tolerancias de mecanizado para disminuir la holgura, y así evitar posibles daños subsuperficiales en la chumacera.

11Conclusiones

El procedimiento de análisis que se ha presentado es una forma rápida y eficiente, en cuanto a número de cálculos y sencillez de implementación, para realizar un estudio local de las tensiones de contacto en los apoyos entre el eje de cola y la chumacera en un submarino, tanto para índices de tolerancia altos como para índices de tolerancia bajos, que requieren un ajuste y un mecanizado con mayor precisión. El método propuesto, basado en el contacto plano, ha sido validado con los resultados obtenidos mediante métodos de precisión contrastada y reconocida, como son el método de Hertz y el MEF. Los resultados demuestran que el método propuesto presenta una precisión suficiente, con un menor coste computacional (con tiempos de cálculo de pocos segundos y sin necesidad de preproceso, mallado y selección de elementos de contacto como en el MEF). Por ello, se presenta como una alternativa para el cálculo de casos de contacto entre el eje y la chumacera, donde solo es necesario realizar una implementación mediante MATLAB® 2013, y el uso de una hoja de cálculo.

El método presentado incluye un análisis estadístico en el cual se refleja la pérdida de fiabilidad con el aumento de los índices de tolerancia en la fabricación. Mediante un ejemplo, se muestra cuál es el riesgo de aparición de fatiga superficial para un diseño concreto, cuyos componentes han sido mecanizados con diversos índices de tolerancia. Se muestra que, a mayor precisión de los componentes, se puede disminuir la holgura, lo cual se traduce en un mayor ciclo de vida. Esta herramienta permite, pues, establecer requerimientos de tolerancia a componentes de tipo eje-chumacera, y otros que se pueden dar en el sector de la automoción y en el aeronáutico.

Agradecimientos

Este trabajo es resultado del proyecto de investigación 08779/PI/08, financiado por la Fundación Séneca, de la Agencia de Ciencia y Tecnología de la Región de Murcia, en el marco del II PCTRM 2007-2010.

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