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DOI: 10.1016/j.hya.2018.04.001
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Disponible online el 10 de Junio de 2018
Evaluación de métodos para estimar la resistencia característica a compresión del hormigón en estructuras existentes a partir de la extracción y ensayo de testigos
Assessment of methods to estimate the characteristic concrete compressive strength in existing structures from core test results
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Alejandro Fernández Domínguez
Autor para correspondencia
afernandezd@civil.cujae.edu.cu

Autor para correspondencia.
, Juan José Howland Albear
Universidad Politécnica de La Habana José Antonio Echevarría, Marianao, La Habana, Cuba
Recibido 23 noviembre 2017. Aceptado 02 abril 2018
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Tabla 1. Factores de corrección a la resistencia a compresión de testigos según el ACI 214.4-10 [6] (tabla 91 de ACI 214.4-10)
Tabla 2. Valor de k asociado con un número pequeño de resultados de ensayos [9]
Tabla 3. Datos más importantes de las 15 obras casos de estudios
Tabla 4. Pruebas de rangos múltiples. Procedimiento de diferencia mínima significativa (LSD) de Fisher. Nivel de confianza: 95,0%
Tabla 5. Valores de fcm,is y fck,is para los diferentes lotes según cada uno de los métodos abordados en 2.1. Entre paréntesis: valores de (fcm,is – fck,is) / fcm,is
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Resumen

Este trabajo está motivado por la ausencia en las normativas cubanas de un método para estimar la resistencia característica a compresión del hormigón en estructuras existentes a partir de la extracción de testigos. Se establece el estado del arte sobre el tema y se utilizan los resultados de ensayos a compresión de testigos extraídos de 15 estructuras existentes de hormigón armado, para evaluar los diversos métodos encontrados en la literatura. Los resultados evidencian una gran variación en los valores determinados por los diferentes métodos encontrados. Finalmente se efectúa la comparación entre dichos valores, se cuantifican las diferencias promedio entre los valores calculados por los diferentes métodos y se emiten criterios sobre la sensibilidad de sus resultados ante las características del lote de hormigón.

Palabras clave:
Resistencia característica a compresión del hormigón
Testigos
Abstract

This paper is motivated because of the absence in Cuban standards of a method to estimate the characteristic concrete compressive strength in existing structures from core test results. The state of the art on the subject is established and the results of core compressive strengths of 15 reinforced concrete structures were used to assess the different methods found on the literature. The results show a large dispersion on the values obtained by the different methods. Finally a comparison of these values it's made, the average differences between the methods are quantified and a criteria about the sensitivity of the methods to the concrete batch characteristics is defined.

Keywords:
Characteristic concrete compressive strength
Concrete cores
Texto completo
Introducción

Analizar la seguridad estructural de una obra construida es mucho más complejo que en el caso de una estructura por construir, pues requiere inspecciones, ensayos y sólidos conocimientos sobre seguridad estructural [1].

En el caso de estructuras de hormigón armado, diversas razones pueden motivar el análisis de la seguridad de una estructura ya construida, y son referidas ampliamente en algunas normas relevantes como la BS 6089:2010 [2] y la BS EN 12504-1:2009 [3], así como en la literatura consultada [1].

Uno de los parámetros indispensables a evaluar en una estructura existente de hormigón armado cuya seguridad está siendo analizada es la resistencia característica a compresión del hormigón.

En una estructura construida la resistencia característica a compresión se estima a partir de la extracción y ensayo de testigos, complementada con el empleo de ensayos no destructivos como la esclerometría y el ultrasonido, que contribuyen a identificar los diferentes lotes de hormigón que pueden estar presentes en una estructura y a minimizar la cantidad de testigos a extraer.

En muchas de las normativas que abordan el tema [2,4–9], la resistencia característica a compresión del hormigón basada en la extracción de testigos es determinada de forma diferente en dependencia del motivo de la evaluación. Se presentan dos casos fundamentales: a)cuando se obtienen bajos resultados en las probetas, y b)cuando se trata de estructuras en explotación, ya sea que presentan patologías o que van a sufrir algún cambio de uso que signifique aumento de cargas, entre otras.

En Cuba existen tres normativas que rigen la evaluación de estructuras existentes de hormigón: la NC 318:2015 [10], la NC 724:2015 [11] y la NC 1109:2015 [12], todas de reciente actualización. La primera incluye lo referente al proceso de extracción de testigos, la segunda aborda los aspectos sobre el ensayo a compresión de los mismos, mientras la tercera especifica lo referente al empleo del método combinado (testigos, esclerometría y ultrasonido) para obtener un mayor tamaño de muestra. Ninguna de las tres incluye la determinación de valores característicos de resistencia a compresión, lo que obliga a los especialistas en Cuba a trabajar con valores medios cuando evalúan estructuras construidas, con el consecuente riesgo de la seguridad estructural.

Sin embargo, diversas normativas y códigos internacionales como ACI 214.4-10 [6], ACI 562-13 [8], BS EN 13791:2007 [9], BS 6089:2010 [2] y EN 1990:2002 [13] sí presentan diferentes métodos con este fin. Algunos de estos métodos han sido tratados en la literatura, evaluando y comparando sus resultados.

Steenbergen y Vervuurt [14] en 2012 comparan los valores de resistencia característica que se obtienen al emplear los métodos de la BS EN 13791:2007 [9] y la EN 1990:2002 [13], además de un método propuesto por los autores, que es una modificación de este último. El estudio se realiza en 70 losas de hormigón armado, de las que se habían extraído testigos. Los resultados arrojan que los valores obtenidos al aplicar la BS EN 13791:2007 [9] son como promedio un 15% superiores a los calculados al emplear la propuesta de método de los autores, siendo en algunos casos las diferencias de hasta un 30%.

Pucinotti [15], en 2013, toma probetas y extrae testigos de 25 lotes de hormigón pertenecientes tanto a elementos estructurales ejecutados a nivel de laboratorio como pertenecientes a estructuras construidas. Empleando los resultados del ensayo a compresión de los testigos, compara los valores de resistencia característica calculados según los métodos de la EN 1990:2002 [13] y la BS EN 13791:2007 [9], además de un método propuesto por el autor como una modificación de este último. Los resultados mostraron que los valores calculados por la BS EN 13791:2007 [9] eran como promedio un 22% superiores a los calculados por la EN 1990:2002 [13] y en algunos casos las diferencias alcanzaron el 40%. Además, los valores calculados por los tres métodos mencionados son comparados con los valores de resistencia característica determinados a partir de la resistencia a compresión de las probetas. Como resultado de esta última comparación, se afirma que los valores obtenidos del método propuesto por el autor mostraron las menores diferencias con respecto a estos últimos, mientras que los métodos de la BS EN 13791:2007 [9] y la EN 1990:2002 [13] arrojaron valores mucho mayores y mucho menores, respectivamente.

Cristofaro et al. [16] emplean en su investigación los resultados de una campaña de evaluación de edificaciones existentes de hormigón armado para la prevención de riesgo sísmico en la región de Toscana, Italia, a través de ensayos destructivos (extracción de testigos) y no destructivos. Los autores determinaron, en 81 de las edificaciones evaluadas, los valores de resistencia característica a compresión empleando los métodos de la BS EN 13791:2007 [9] y la EN 1990:2002 [13]. Los resultados obtenidos manifiestan una superioridad en los valores obtenidos según la primera de un 50% como promedio sobre los calculados al aplicar la última.

En 2017, Cristofaro et al. [17] utilizan un caso de estudio de donde se extrajeron 232 testigos para comparar los valores de resistencia característica obtenidos al aplicar los métodos de las normativas BS EN 13791:2007 [9], EN 1990:2002 [13] y los propuestos por Pucinotti [15] y Steenbergen y Vervuurt [14] y comprándolo con la resistencia de diseño del hormigón y con la resistencia determinada a partir de las probetas tomadas durante el control de calidad. Los resultados evidenciaron diferencias entre los valores de resistencia característica determinados por las normativas referidas de 6MPa como promedio. Al mismo tiempo, ambos valores resultaron conservadores respecto a los valores de resistencia obtenidos durante el control de calidad, un 18% en el caso de la EN 1990:2002 [13] y un 38% en el caso de la BS EN 13791:2007 [9].

A partir de todo lo expuesto anteriormente, puede afirmarse que la determinación de un valor de resistencia característica a compresión en estructuras construidas de hormigón constituye una problemática de investigación mundial.

Por tanto, en esta investigación se plantea como objetivo principal comparar los valores de resistencia característica obtenidos al aplicar los métodos que aparecen en las normativas europeas BS EN 13791:2007 [9], BS 6089:2010 [2] y EN 1990:2002 [13] y las norteamericanas ACI 214.4-10 [6] y ACI 562-13 [8] a casos de estudio. Los casos de estudios son 15 edificaciones construidas en La Habana y regiones aledañas durante el sigloxx, de las que se han extraído testigos en las últimas dos décadas. En primer lugar se describen los detalles principales asociados a cada uno de los métodos abordados. Luego se determinan los valores de resistencia característica a compresión en cada uno de los lotes bajo estudio. Finalmente, se comparan los resultados, se cuantifican las diferencias promedio entre los valores calculados por los distintos métodos y se emiten criterios sobre la sensibilidad de los métodos a las características del lote de hormigón, dígase tamaño de muestra, resistencia media a compresión y dispersión en los valores.

Métodos para estimar la resistencia característica a compresión en estructuras construidas a partir de la extracción y ensayo de testigos.

En este apartado se exponen los aspectos fundamentales de los métodos encontrados en normativas europeas y norteamericanas para estimar la resistencia característica a compresión del hormigón en estructuras existentes a partir de la extracción y ensayo de testigos, y específicamente para el caso de estructuras existentes que son evaluadas ya sea por un cambio de uso que signifique aumento de cargas o por la presencia de patologías en la estructura.

Es importante acotar que, a diferencia de las normativas europeas, donde se emplea el término «resistencia característica a compresión del hormigón en la estructura», en las normativas del American Concrete Institute (ACI) que son abordadas en el documento [6,8] se refieren a esta como «resistencia equivalente».

A pesar de que la forma de introducir la seguridad difiere entre estos dos enfoques, ambas se refieren a un valor estimado de resistencia a compresión con un enfoque estadístico.

Por tanto, con el objetivo de lograr un mejor entendimiento de este artículo, se emplea el término resistencia característica a compresión in situ para referirse a la resistencia característica a compresión en estructuras existentes y se denota por fck,is. De la misma forma, la resistencia media a compresión en estructuras existentes es referida como resistencia media a compresión in situ y se denotará como fcm,is.

Métodos del ACI 214.4-10

El ACI 214.4-10 [6] «Guía para la obtención de testigos y la interpretación de resultados de resistencia a compresión» presenta dos métodos para estimar el valor de fck,is: el método del factor de tolerancia y método alternativo. Para el empleo de cualquiera de estos es necesario previamente determinar el valor de resistencia a compresión corregido de cada testigo (ftest,corr) (ecuación 1) aplicando los factores de corrección Fh/d (por la esbeltez del testigo), Fdia (por el diámetro), Fhum (por el contenido de humedad) y Fdañ (por el daño por extracción) de la tabla 1 al valor de resistencia a compresión de cada testigo (ftest). Posteriormente se estima la cantidad de lotes de hormigón presentes en la estructura y además se eliminan testigos con valores anómalos de resistencia a compresión en cada uno. Luego se procede a determinar el valor de la resistencia media a compresión corregida para cada lote (fcm,is) (ecuación 2), así como su desviación estándar (S) (ecuación 3) y la desviación de los factores de corrección empleados para calcular ftest,corr (Sa) (ecuación 4).

Tabla 1.

Factores de corrección a la resistencia a compresión de testigos según el ACI 214.4-10 [6] (tabla 91 de ACI 214.4-10)

Factor de corrección  Caso específico  Valor medio  Coeficiente de variación V(%) 
Fh/dTratamiento de la ASTM C42/C42M [18]  1 − 0,13−aftest2−h/d2  2.5 2−hd2 
Sumergido 48 h  1 − 0,117−aftest2−h/d2  2.5 2−hd2 
Secado al aire**  1 − 0,144−aftest2−h/d2  2.5 2−hd2 
Fdia2 in. (50 mm)  1,06  11,8 
4 in. (100 mm)  1,00  0,0 
6 in. (150 mm)  0,98  1,8 
FhumTratamiento de la ASTM C42/C42M [18]  1,00  2,5 
Sumergido 48 h  1,09  2,5 
Secado al aire  0,96  2,5 
Fdañ1,06  2,5 

* La ASTM C42/C42M-04(4) establece un tratamiento del testigo después de extraído y hasta ser ensayado.

** Secado al aire durante 7 días a temperatura ambiente y humedad relativa menor de 60%.

*** La constante α=4,3 10−4MPa−1.

Siendo n el número de testigos de cada lote. Los valores de Vh/d, Vdia, Vhumy Vdañ aparecen en la última columna de la propia tabla 1 y corresponden a cada uno de los factores de corrección que exige la misma; estos solo deben incluirse en la ecuación 4 si el valor de su respectivo factor es distinto de la unidad. Si los testigos presentan diferentes relaciones de altura/diámetro (h/d) se aconseja de manera conservadora emplear el valor de Vh/d correspondiente al testigo de menor h/d.

Método del factor de tolerancia

El método del factor de tolerancia fue propuesto por Hindo y Bergerstorm [19] en 1985 y establece que la resistencia característica a compresión se estima con el empleo de la ecuación 5.

Donde los valores de K y Z se determinan a partir de las tablas 9.2 y 9.3 del ACI 214.4-10 [6] en dependencia del nivel de confianza asumido y el número de testigos (n). Según los autores de este método, pueden ser empleados niveles de confianza del 75% para estructuras ordinarias, del 90% para edificios importantes y del 95% para elementos cruciales de plantas nucleares.

Método alternativo

El método alternativo fue introducido por Bartlett y MacGregor [20] en 1995. Estos investigadores planteaban que el método del factor de tolerancia resultaba demasiado conservador en la práctica, ya que los ensayos de testigos sobreestimaban la verdadera variabilidad del hormigón in situ; es decir, el valor de fck,is calculado por la ecuación 4 resultaba muy bajo porque el valor de la desviación estándar (S) empleado era muy alto. Además, planteaban que la precisión inherente a este método resultaba significativamente mayor que las especificaciones empleadas en los métodos actuales de diseño.

El método alternativo, por su parte, se aplica en dos pasos. Primero se determina, el límite inferior estimado para el valor de fcm,is a partir de la ecuación 6.

Donde T representa el efecto de n en la incertidumbre del valor de fcm,is y se determina a partir de la tabla 9.4 de ACI 214.4-10 [6] en función del nivel de confianza establecido y de n, mientras el resto de las variables son las mismas definidas con anterioridad. Los autores del método sugieren que un 90% de confianza es probablemente conservador para uso general. Luego la fck,is se estima empleando la ecuación 7.

Donde C es un factor que considera la variabilidad de la resistencia a compresión dentro de una misma estructura y depende del número de amasadas, del número de elementos y del tipo de construcción en cuestión y se escoge de la tabla 9.5 de [6].

Método del ACI 562-13

La normativa ACI 562-13 [8], «Especificaciones para la evaluación, reparación y rehabilitación de edificios de hormigón», establece que en la evaluación de la seguridad en estructuras construidas de hormigón armado, la fck,is se estima a partir de la ecuación 8.

Donde V es el coeficiente de variación de las resistencias de los testigos y kc es el coeficiente modificador del coeficiente de variación que se determina de la tabla 6.4.3 de [8].

Este método también se encuentra especificado en la Canadian Highway Bridge Design Code CAN/CSA S6-06[21] y se basa en el método alternativo propuesto por Bartlett y MacGregor [20] en 1995 que se especifica en el ACI 214.4-10 [6].

Método de la BS EN 13791:2007

Según se establece en la BS EN 13791:2007 [9], luego de ensayados los testigos el resultado de resistencia a compresión de cada uno debe ser corregido aplicando los factores de corrección exigidos en la BS EN 12504-1:2009 [3]. Luego, empleando los valores obtenidos de ftest,corr se determina la fcm,is y finalmente fck,is.

Con este fin, la BS EN 13791:2007 [9] presenta los enfoques A y B, el primero para ser usado cuando se tiene una muestra de 15 o más testigos y el segundo cuando la muestra tiene entre 3 y 14 testigos. A continuación se describen los dos enfoques:

Enfoque A

El valor de fck,is estimado de la región de ensayo debe ser el menor valor entre los que se obtienen de las ecuaciones 9 y 10.

Donde s es el mayor valor entre la desviación estándar de los resultados de los ensayos (S) y 2MPa, y k2 se indica en las disposiciones nacionales, o si no se da ningún valor, se toma como 1,48, y fis,mínimo es el resultado mínimo del ensayo de resistencia a compresión

Enfoque B

El valor de fck,is debe ser el menor valor entre los que se obtienen de las ecuaciones 11 y 12.

Donde k depende del tamaño de la muestra (n) y se obtiene de la tabla 2.

Tabla 2.

Valor de k asociado con un número pequeño de resultados de ensayos [9]

k 
de 10 a 14 
de 7 a 9 
de 3 a 6 

Finalmente, el valor de fck,is obtenido por cualquiera de los dos enfoques anteriores debe dividirse por 0,85, lo que significa un incremento del 18%. El valor obtenido pudiera entonces ser mayor que el valor de fcm determinado en probetas del mismo hormigón, lo que resultaría sin dudas inseguro. [14]

Método de la BS 6089:2010

La norma británica BS 6089:2010 [2] declara que los dos enfoques que propone la BS EN 13791:2007 [9] abordados en 2.3.1 y 2.3.2 no son aplicables para determinar la resistencia característica de una estructura existente sobre la cual no hay conocimiento previo. En su lugar propone el empleo de un método más conservador basado en principios estadísticos establecidos, como la t de Student.

La normativa propone que fck,is sea el menor valor entre los que se obtienen de las ecuaciones 13 y 14.

Donde t0.05 es el valor del estadígrafo t para n-1 grados de libertad y un nivel de confianza del 95%.

Método de la EN 1990:2003

De acuerdo a Steenbergen y Vervuurt [14], el Eurocódigo EN 1990:2002 [22] establece principios y requerimientos para la seguridad, el servicio y la durabilidad de las estructuras. Para lograrlo, describe las bases para el diseño y la verificación de las mismas y las premisas acerca de la seguridad estructural.

Específicamente en el caso de estructuras existentes, EN 1990:2002 [13] refiere en su anexo D un método para estimar fck,is basado en la resistencia de testigos extraídos de la estructura.

Dicha resistencia característica se estima asumiendo una distribución logarítmica-normal de la resistencia a compresión según la ecuación 15.

Donde fcm,is(Y) es la media del logaritmo natural de los valores medidos de resistencia a compresión; s(Y) es la desviación estándar de los logaritmos naturales de los valores medidos de resistencia a compresión, y tn-1,p=0,05 es el valor del estadígrafo t de Student para un grado de confianza del 95% y n-1 grados de libertad.

Según Steenbergen y Vervuurt [14], el factor 1+1n tiene en cuenta la incertidumbre en el valor medio y el valor de tn-1,p=0,05 tiene en cuenta la incertidumbre en la desviación estándar.

Es importante acotar que en la EN 1990: 2002 [22] no se hace referencia al empleo de factores de corrección a los valores individuales de resistencia a compresión de los testigos.

Conclusiones parciales

Lo expuesto en el apartado 2.1 evidencia la gran diversidad de métodos manejados internacionalmente para determinar la resistencia característica a compresión de una estructura construida a partir de la extracción y ensayo de testigos. Esto hace injustificable el hecho de que las normativas cubanas no cuenten con método alguno.

La mayor diferencia detectada entre los métodos radica en el nivel de confianza exigido por las normativas norteamericanas [6,8] y las normativas europeas [2,13]. Estas últimas exigen un 95% de nivel de confianza mientras que las primeras plantean que incluso un 90% resulta conservador. Este elemento puede influir en la magnitud de los valores de fck,is.

Por otro lado, todos los métodos tienen en común que consideran de una forma u otra las mismas variables: el tamaño de muestra (n) y alguna medida de la dispersión de los valores de ftest, ya sea la desviación estándar (S) o el coeficiente de variación (V).

Casos de estudio

Los métodos para estimar la resistencia característica compresión en estructuras construidas, abordados en 2.1, son evaluados en 15 edificaciones de hormigón armado construidas en La Habana y sus cercanías a lo largo del sigloxx; algunos datos asociados a las mismas se recogen en la tabla 3. Dichos datos fueron obtenidos a partir de informes de estudios de diagnóstico realizados en estas estructuras por dos entidades de La Habana: la Empresa Nacional de Investigaciones Aplicadas (ENIA) y el Centro de Investigación y Desarrollo de la Construcción (CIDC). El anexo A contiene la totalidad de los datos asociados a los testigos extraídos en los estudios de diagnóstico referidos.

Tabla 3.

Datos más importantes de las 15 obras casos de estudios

N.o  Obra  Año de construcción  Año de estudio  Elementos ensayados  Cantidad de testigos extraídos 
Almacén de hemoderivados  1943  2004  Columna, Viga, Losa  12 
Calle N No. 336  1945  2002  Viga, Columna 
Almacenes Cubanacán  1970  1999  Columna, Viga, Losa  19 
Plaza de la Revolución José Martí  1954  2006  Losa 
Casa de Dulce María Loynaz  1928  2002  Losa 
Hotel Herradura  1956  2000  Viga, Losa  13 
Edificio Malecón y F  1967  2002  Muro  10 
Muelle 8 del Mariel  1979  2001  Viga 
Edificio 7ma y 116  1964  2000  Columna, Viga  12 
10  Dirección Municipal del PCC Cárdenas  1977  2002  Losa 
11  Edificio Pentágono  1956  1998  Columna 
12  Basamento del Edificio de la UNAICC  1927  2001  Columna, Viga 
13  Instituto Nacional de Oncología y Radiobiología  1945  2004  Losa  12 
14  Calixto García (Edificio Joaquín Albarrán)  1914  2005  Losa  20 
15  Hospital Pedro Borrás  1935  2007  Columna, Viga  15 

La elección de estas 15 estructuras como casos de estudio fue realizada de manera aleatoria de un total de alrededor de 200 informes de estudios de diagnóstico consultados en los archivos de las dos empresas antes mencionadas.

Para llevar a cabo la evaluación de cada uno de los métodos abordados y dados los diferentes criterios que existen sobre la aplicación de los factores de corrección a la resistencia de testigos, se decidió para todos los casos determinar el valor de ftest,corr, aplicando la ecuación 1, que emplea los factores de corrección establecidos en el ACI 214.4-10 [6] (tabla 1); de esa forma todos los métodos parten de los mismos valores de resistencia a compresión de testigos corregidos (ftest,corr) y por tanto se aprecia de mejor manera su aplicación al determinar los valores de fck,is. Es importante aclarar que los factores Fh/d y Fhum aplicados son los correspondientes a la condición del testigo sumergido 48h antes del ensayo, por coincidir con las especificaciones al respecto de las normas cubanas NC 54-122:1986 [23] y NC 318:2003 [24], vigentes durante los años en que fueron realizados los estudios de diagnóstico sobre las estructuras casos de estudio. En el anexo A pueden encontrarse los detalles sobre la obtención de los valores de ftest,corr de cada testigo.

Identificación de lotes y búsqueda de valores anómalos

Luego de obtener el valor de resistencia a compresión corregido de cada testigo (ftest,corr) aplicando los factores de corrección del ACI 214.4-10 [6], se procedió a identificar la cantidad de lotes dentro de cada una de las estructuras y eliminar del análisis aquellos testigos cuyos valores de resistencia a compresión resultaron atípicos.

Este proceso se llevó a cabo según los criterios del ACI 214.4-10 [6] en su apéndice A2. Primeramente los testigos se agruparon de acuerdo al tipo de elemento estructural del cual fueron extraídos; luego se realizaron pruebas de comparación múltiple, primero dentro de cada uno de los grupos formados y luego entre ellos, para demostrar cuáles de los testigos podían ser considerados como muestras de un mismo lote de hormigón.

Las pruebas de comparación múltiple se realizaron en el asistente estadístico Statgraphics. La tabla ANOVA y la prueba de Fisher se emplearon para determinar si existían diferencias estadísticamente significativas entre las medias de cada subgrupo formado. Luego, en los casos positivos se empleó la prueba de rangos múltiples siguiendo el método de diferencia mínima significativa (LSD) de Fisher con un nivel de confianza del 95,0%, para determinar cuáles de los subgrupos eran diferentes.

Una vez concluido el análisis, se llegó a las siguientes conclusiones:

  • a)

    Solo la obra 14 no se ajustó a una distribución normal, sino a una distribución logarítmica-normal, que de acuerdo a criterio expuestos en ACI 214.4-10 [6], es característica de obras con pobre control de ejecución.

  • b)

    En todas las obras los testigos pertenecían al mismo lote de hormigón, a excepción de las obras 1, 3 y 15, las cuales presentaron dos lotes cada una, quedando finalmente 18 lotes de hormigón.

  • c)

    Específicamente en el caso de la obra 1, la prueba de rangos múltiples (tabla 4) arrojó que los testigos de las losas podían ser incluidos en el mismo lote que los testigos de las columnas o de las vigas, pero estos dos últimos no eran homogéneos entre sí. Por tanto, se decidió asumir 2 lotes, agrupando a los testigos de las losas y columnas, con el objetivo de aumentar en lo posible la cantidad de testigos en cada lote.

    Tabla 4.

    Pruebas de rangos múltiples. Procedimiento de diferencia mínima significativa (LSD) de Fisher. Nivel de confianza: 95,0%

    Grupos  Cantidad de testigos  Media  Grupos homogéneos
    Columnas  13,4   
    Losa  16,3 
    Vigas  20,4   

    Nota: Las X en la misma columna indican homogeneidad entre grupos.

Posteriormente, cada uno de los 18 lotes fue sometido a una búsqueda de valores atípicos empleando también el asistente estadístico Statgraphics, mediante las pruebas de Grubbs y Dixon con un nivel de confianza del 99%. En este proceso no fue detectado valor anómalo alguno. En la tabla 5 se resumen las principales características de los 18 lotes formados.

Tabla 5.

Valores de fcm,is y fck,is para los diferentes lotes según cada uno de los métodos abordados en 2.1. Entre paréntesis: valores de (fcm,isfck,is) / fcm,is

Obra110  11  12  13  14  15Prom, de (fcm,is -fck,is) / fcm,isCV de (fcm,is -fck,is) / fcm,is
Lote1,1  1,2  3,1  3,2  10  11  12  13  14  15,1  15,2 
Tamaño de muestra (n)13  13  10  12  12  20 
fcm,is (MPa)14,87  20,41  12,1  16,4  11  20,2  6,73  26,4  49,6  29,4  28,6  11,6  9,1  22,2  16,8  11,3  16,7 
Desviación estándar de ftest,corr (MPa)3,88  4,19  1,84  3,50  1,76  2,61  1,79  7,11  2,49  10,2  1,56  4,29  1,99  2,64  5,95  9,00  2,61  3,93 
fck,is (MPa)Método del factor de tolerancia  7,63 (0,49)  12,57 (0,38)  8,75 (0,28)  10,54 (0,36)  7,55 (0,31)  14,56 (0,28)  2,91 (0,57)  14,96 (0,43)  43,28 (0,13)  11,75 (0,60)  4,38 (0,37)  17,50 (0,39)  8,12 (0,30)  4,15 (0,54)  12,35 (0,44)  3,01 (0,82)  6,40 (0,43)  10,00 (0,40)  0,42  36,42% 
Método alternativo  10,33 (0,33)  14,72 (0,28)  8,83 (0,27)  11,88 (0,28)  7,87 (0,29)  14,87 (0,26)  4,35 (0,35)  19,52 (0,26)  37,11 (0,25)  19,77 (0,33)  5,04 (0,28)  19,21 (0,33)  8,74 (0,25)  6,18 (0,32)  15,89 (0,28)  11,37 (0,32)  8,00 (0,29)  12,26 (0,27)  0,29  10,31% 
ACI 562-13  8,14 (0,45)  10,61 (0,48)  10,6 (0,12)  13,09 (0,20)  8,10 (0,26)  9,17 (0,55)  4,16 (0,38)  20,46 (0,23)  42,87 (0,14)  13,56 (0,54)  6,37 (0,09)    9,41 (0,19)  6,51 (0,28)  17,83 (0,20)  14,18 (0,16)  7,45 (0,34)  11,91 (0,29)  0,29  50,68% 
BS EN 13791:2007  7,87 (0,38)  13,41 (0,23)  6,10 (0,41)  11,39 (0,18)  4,02 (0,57)  13,15 (0,23)    17,92 (0,20)  44,63 (0,10)  21,37 (0,14)  1,99 (0,67)  21,59 (0,11)  5,60 (0,43)  2,09 (0,73)  17,18 (0,09)  3,52 (0,75)  4,27 (0,55)  10,73 (0,25)  0,37  60,80% 
BS 6089:2010  7,05 (0,53)  11,97 (0,53)  8,68 (0,28)  10,15 (0,38)  7,38 (0,33)  14,01 (0,30)  2,52 (0,63)  13,77 (0,48)  45,07 (0,09)  10,41 (0,65)  4,19 (0,40)  16,37 (0,43)  7,83 (0,33)  3,76 (0,59)  11,49 (0,48)  1,28 (0,92)  6,02 (0,47)  9,42 (0,44)  0,45  39,44% 
EN 1990:2002  8,19 (0,45)  12,72 (0,38)  9,18 (0,24)  10,00 (0,39)  7,59 (0,31)  13,75 (0,32)  3,32 (0,51)  15,06 (0,43)  41,53 (0,16)  13,19 (0,55)  4,10 (0,41)  15,46 (0,33)  7,67 (0,34)  4,42 (0,51)  13,11 (0,41)  6,11 (0,64)  6,85 (0,39)  9,73 (0,42)  0,41  27,53% 
Rango de fck,is (MPa)  3,28  5,16  3,42  3,41  3,37  6,31  1,83  7,31  15,40  14,73  4,03  9,94  2,81  4,06  8,72  12,90  2,98  3,20       
Resultados y discusiónEstimación de fck,is aplicando los diferentes métodos abordados en 2.1

Una vez definidos los lotes de hormigón que conformaban la muestra, se determinaron los valores de fck,is para cada uno de esos lotes empleando los métodos descritos en 2.1. Algunos detalles sobre la aplicación de estos métodos a los casos de estudio se abordan a continuación.

En los métodos establecidos en el ACI 214.4-10 [6] (ver 2.1.1) se empleó un grado de confiabilidad del 90%, como sugieren Bartlett y MacGregor [20].

En la tabla 5 se muestran los valores de fck,is obtenidos, además de los valores de fcm,is y S correspondientes a cada lote. Como puede notarse, en el lote 10 no aparece valor alguno de fck,is para el método ACI 562-13 [8], esto se debe a que dicho método no puede ser empleado para tamaños de muestras inferiores a 4. En el caso del lote 5 no se muestra valor alguno para el método de la BS EN 13791:2007 [9], pues el valor calculado de fck,is resultó negativo.

Comparación entre métodos

La tabla 5 evidencia la gran variabilidad con que los diferentes métodos abordados en el apartado 2 estiman el valor de fck,is para un mismo lote de hormigón. Aun observando cuidadosamente, no puede encontrarse un patrón en los valores de fck,is asociado a ninguna de las variables de los métodos (n, S o fcm,is). En la última fila de la propia tabla se calcularon los rangos del valor de fck,is para cada lote, que no es más que la diferencia entre el mayor y menor valor de fck,is calculado por los métodos. Obsérvese como en tres lotes las diferencias alcanzan valores por encima de 12MPa, mientras que en otros tres son inferiores a 3MPa, otra evidencia de la variabilidad en los valores de fck,is calculados por los diferentes métodos para un mismo lote de hormigón.

En la figura 1 se grafican para cada lote los valores correspondientes de fcm,is y de fck,is calculados según los métodos de las normativas europeas [2,9,13]. En la misma, donde los lotes fueron organizados en orden ascendente del valor de fcm,is, puede notarse como en todos aquellos lotes donde la fcm,is es mayor de 15MPa (del 8 al 18), excepto en el lote 11, el valor calculado según la BS EN 13791:2007 [9] es superior al calculado según la EN 1990:2002 [13] como promedio un 26% y alcanza valores máximos de hasta 48%. Estos resultados están en concordancia con los reportados por Pucinotti [15] en 2013.

Figura 1.

Comparación de los valores de fck,is calculados según las normativas europeas [2,9,13].

(0,24MB).

Sin embargo, en el resto de los lotes (1 al 7), que casi en su totalidad presentan valores de fcm,is por debajo de 12MPa, el comportamiento es el inverso, o sea los valores calculados según la BS EN 13791:2007 [9] resultan más conservadores que los calculados según la EN 1990:2002 [13]. No obstante, se considera que este hecho no entra en contradicción con la afirmación hecha en el párrafo anterior ni con los resultados de Pucinotti [15], pues en esta última investigación ninguno de los lotes de hormigón analizados presentaba valores de fcm,is inferiores a los 15MPa, como en este caso. Estos resultados indican que los métodos de las normativas europeas tienen comportamientos diferentes para valores bajos y altos de fcm,is.

Al mismo tiempo, observando la figura 1 se pueden constatar dos afirmaciones hechas por Steenbergen y Vervuurt [14]: primero al respecto de que los valores calculados según la BS 6089:2010 [2] están mucho más acordes a los que se obtienen al aplicar la EN 1990:2002 [13], y segundo, que en algunos casos, como lo confirma el lote 18, los valores de fck,is calculados según la BS EN 13791:2007 [9] pueden ser superiores al valor de fcm,is del lote, lo que está totalmente en contra de la seguridad estructural.

En la figura 2 se grafican entonces, para cada lote, los valores correspondientes de fcm,is y de fck,is calculados según los métodos de las normativas americanas [6,8]. En la misma, los valores también se han organizado en orden ascendente del valor de fcm,is. Si se observa cuidadosamente, se puede notar como en todos los casos, a excepción del último lote, el valor de fck,is determinado por el método alternativo del ACI 214.4-10 [6] es superior al método del factor de tolerancia de la misma normativa en un 21% como promedio, alcanzando en algún caso hasta un 74%. Estos resultados están en concordancia con las afirmaciones hechas por Bartlett y MacGregor [20] respecto a que el método del factor de tolerancia resultaba muy conservador. Por otra parte, los valores de fck,is calculados según el método del ACI 562-13 [8] presentan valores muy similares a los de obtenidos por el método alternativo, en algunos casos superiores y en otros inferiores, con diferencias promedio menores al 15%. Nótese que en ningún caso el valor de fck,is de cada lote supera al de fcm,is correspondiente.

Figura 2.

Comparación de los valores de fck,is calculados según las normativas norteamericanas [6,8].

(0,24MB).

Para ampliar la comparación, se decidió calcular en qué porcentaje cada uno de los métodos reduce el valor de fcm,is al calcular el valor de fck,is (valores entre paréntesis de la tabla 5).

En la penúltima columna de la tabla 5 se muestran los valores promedio, para cada método, de los porcentajes antes referidos. Nótese que el método del ACI 562-13 [8] y el método alternativo del ACI 214.4-10 [6] presentan reducciones del 29% como promedio del valor de fcm,is al calcular el valor de fck,is, mientras que el método del factor de tolerancia del ACI 214.4-10 [6] presenta un 42%, lo que reafirma que es más conservador que los anteriores.

Por su parte, entre las normativas europeas se confirma que, como promedio, el método de la BS EN 13791 [9] es menos conservador que los métodos de la BS 6089:2010 [2] y la EN 1990:2002 [13].

De manera general, el método alternativo del ACI 214.4-10 [6] y el método del ACI 562-13 [8] son, como promedio, los menos conservadores, mucho menos que el método de la BS EN:13791:2007 [9], al que ya en la normativa BS 6089:2010 [2] y en la literatura [14,15] calificaban de ofrecer valores de fck,is en contra de la seguridad estructural. Se confirma la hipótesis lanzada en 2.6 sobre las diferencias que produce en el valor de fck,is el nivel de confianza que exigen los métodos de las normas norteamericanas [6,8] y las europeas [2,9,13] analizadas, resultados que concuerdan con los obtenidos por Couto et al. [1]

Finalmente, en la última columna de la tabla 5 se exponen los valores del coeficiente de variación (CV) de los porcentajes en que cada método reduce la fcm,is al calcular la fck,is. Se considera que estos valores evidencian la sensibilidad de cada uno de los métodos a las características del lote, dígase tamaño de muestra, media o desviación típica. Como se observa, el método alternativo del ACI 214.4-10 [6] presenta un valor de 10,3%, el cual es mucho más bajo que los valores presentados por el resto de los métodos, que oscilan entre el 27,5% y el 60,8%. Se cree que este es un elemento de mucha importancia si se quiere resaltar la calidad de un método sobre otro.

La baja resistencia a compresión que de manera generalizada presentan los casos de estudio es característica de muchas construcciones existentes en Cuba y en La Habana específicamente, donde se cuenta con un amplio patrimonio construido de más de 100 años de existencia. Puede afirmarse que este hecho no influye de forma alguna en los resultados obtenidos, más allá del caso puntual referido donde el método de la BS EN 13791:2007 [9] arrojó un valor negativo de fck,is para un lote con 6,73MPa de fcm,is.

Conclusiones

En este trabajo se evaluaron y compararon los valores de fck,is que se obtienen al aplicar los métodos de cinco normativas internacionales [2,6,8,9,13] sobre 15 estructuras construidas en el sigloxx en La Habana de las que se extrajeron testigos en las últimas dos décadas.

Resultó evidente la acentuada dispersión que existe entre los valores que se obtienen al aplicar los diferentes métodos normados al estimar la fck,is a un mismo lote de hormigón.

Se detectó que el método de la BS EN 13791:2007 [9] presentó problemas en el cálculo de fck,is para un valor bajo de fcm,is de 6,7MPa, arrojando un valor negativo, mientras que en uno de los casos se obtuvo un valor de fck,is superior al valor de fcm,is, elemento que está totalmente en contra de la seguridad estructural. Por su parte, el método del ACI 562-13 [8] no arrojó valor alguno de fck,is para un lote con solo 3 testigos.

Se constató que el método alternativo y el método del ACI 562-13 [8] resultan los menos conservadores, arrojando valores de fck,is que reducen como promedio el valor de fcm,is un 29%. El resto de los métodos presentó un comportamiento bastante similar, con resultados que oscilan alrededor del 40%.

Se evidenció que la diferencia en el nivel de confianza exigido por las normativas americanas [6,8] y europeas —90 y 95%, respectivamente— influye en gran medida en los valores de fck,is calculado.

Finalmente, se demostró que los métodos presentan diferente sensibilidad a las características de un lote, dígase tamaño de muestra, media o dispersión en los valores. Destacan el método alternativo del ACI 214.4-10 [6] como el menos sensible, mientras en el otro extremo el método de la BS EN 13791:2007 [9] resulta el más sensible, considerándose este un elemento de peso si se quiere distinguir la calidad de alguno de los métodos evaluados sobre los otros.

Recomendaciones

Se recomienda realizar una investigación experimental que permita definir cuál de los métodos manejados en la literatura para estimar la resistencia característica a compresión en estructuras construidas a partir de testigos se adecua mejor a las condiciones de Cuba, o, en su lugar, determinar un método propio.

Agradecimientos

Se agradece a la Empresa Nacional de Investigaciones Aplicadas (ENIA) y al Centro de Investigación y Desarrollo de la Construcción (CIDC) por facilitar los informes de diagnósticos de las estructuras que constituyeron los casos de estudio de este trabajo.

Se agradece al Prof. Dr. Paulo Helene por su asesoría.

Appendix A
Anexo A. Datos asociados al cálculo de ftest,corr para cada testigo

Obra  Testigo  Elemento estructural  ftest (MPa)  Fh/d  Fdia  Fdañ  Fhum  ftest,corr (MPa) 
1Columna  10,5  0,894  1,000  1,06  10,0 
Columna  10,3  0,969  1,000  1,06  10,6 
Columna  18,6  0,995  1,000  1,06  19,6 
Losa  17,8  0,948  1,000  1,06  17,9 
Losa  15,6  0,936  1,000  1,06  15,5 
Losa  15,9  0,925  1,000  1,06  15,6 
Viga  19,6  0,886  1,000  1,06  18,4 
Viga  16,4  0,987  1,000  1,06  17,1 
Viga  19,3  1,000  1,000  1,06  20,4 
10  Viga  21,6  1,000  1,000  1,06  22,9 
11  Viga  26,3  0,984  1,000  1,06  27,4 
12  Viga  15,3  1,000  1,000  1,06  16,2 
2Viga  14,3  1,000  1,036  1,06  15,7 
Viga  12,1  0,977  1,036  1,06  13,0 
Viga  10,3  1,000  1,036  1,06  11,3 
Viga  11,5  0,998  1,036  1,06  12,7 
Viga  10,8  0,943  1,036  1,06  11,1 
Viga  12,5  0,983  1,036  1,06  13,5 
Columna  10,4  0,994  1,036  1,06  11,4 
Columna  9,9  1,000  1,036  1,06  10,8 
Columna  8,5  1,000  1,036  1,06  9,4 
3Columna  12,9  1,000  1,036  1,06  14,2 
Columna  12,9  1,000  1,036  1,06  14,2 
Columna  13,8  0,990  1,036  1,06  15,0 
Columna  20,4  0,991  1,036  1,06  22,2 
Columna  16,8  0,988  1,036  1,06  18,2 
Columna  11,0  0,988  1,036  1,06  12,0 
Viga  18,3  0,917  1,036  1,06  18,5 
Viga  14,6  0,993  1,036  1,06  15,9 
Viga  14,6  0,993  1,036  1,06  15,9 
10  Viga  12,4  0,999  1,036  1,06  13,6 
11  Viga  16,5  0,993  1,036  1,06  18,0 
12  Viga  11,3  0,982  1,036  1,06  12,2 
13  Viga  21,5  0,982  1,036  1,06  23,2 
14  Losa  13,5  0,876  1,036  1,06  13,0 
15  Losa  9,1  0,874  1,036  1,06  8,7 
16  Losa  11,6  0,875  1,036  1,06  11,1 
17  Losa  8,8  0,937  1,036  1,06  9,1 
18  Losa  12,4  0,915  1,036  1,06  12,5 
19  Losa  11,6  0,924  1,036  1,06  11,7 
4Losa  17,3  1,000  1,000  1,06  18,4 
Losa  18,3  0,991  1,000  1,06  19,2 
Losa  17,9  1,000  1,000  1,06  19,0 
Losa  22,7  1,000  1,000  1,06  24,0 
5Losa  9,0  0,919  1,000  1,06  8,8 
Losa  4,9  0,918  1,000  1,06  4,8 
Losa  7,2  0,990  1,000  1,06  7,5 
Losa  6,0  0,918  1,000  1,06  5,8 
6Viga  26,1  0,970  1,000  1,06  26,9 
Viga  30,9  0,971  1,000  1,06  31,8 
Viga  13,9  0,948  1,000  1,06  13,9 
Viga  24,7  0,989  1,000  1,06  25,9 
Viga  19,9  0,989  1,000  1,06  20,9 
Viga  25,0  0,989  1,000  1,06  26,2 
Losa  25,0  0,939  1,036  1,06  25,8 
Losa  30,1  0,905  1,000  1,06  28,9 
Losa  24,5  0,881  1,000  1,06  22,9 
10  Losa  19,4  0,895  1,000  1,06  18,4 
11  Losa  27,1  0,882  1,000  1,06  25,3 
12  Losa  43,8  0,889  1,000  1,06  41,3 
13  Losa  36,7  0,886  1,036  1,06  35,7 
7Muro  44,5  0,961  1,036  1,06  47,0 
Muro  49,4  0,974  1,036  1,06  52,9 
Muro  46,8  0,998  1,036  1,06  51,3 
Muro  47,8  0,983  1,036  1,06  51,6 
Muro  45,1  0,965  1,036  1,06  47,9 
Muro  44,8  0,999  1,036  1,06  49,2 
Muro  44,5  0,999  1,036  1,06  48,8 
Muro  48,8  0,998  1,036  1,06  53,4 
Muro  43,5  0,999  1,036  1,06  47,7 
10  Muro  42,5  0,998  1,036  1,06  46,6 
8Viga  38,2  1,000  1,036  1,06  42,0 
Viga  21,8  1,000  1,036  1,06  23,9 
Viga  43,2  1,000  1,036  1,06  47,4 
Viga  27,4  0,934  1,036  1,06  28,0 
Viga  29,7  1,000  1,036  1,06  32,6 
Viga  15,8  1,000  1,036  1,06  17,4 
Viga  19,8  1,000  1,036  1,06  21,7 
Viga  18,1  0,982  1,036  1,06  19,5 
Viga  29,0  1,000  1,036  1,06  31,8 
9Columna  6,7  1,000  1,036  1,06  7,3 
Columna  5,6  1,000  1,036  1,06  6,2 
Columna  8,7  1,000  1,036  1,06  9,6 
Columna  6,0  1,000  1,036  1,06  6,6 
Columna  7,8  1,000  1,036  1,06  8,5 
Columna  4,6  1,000  1,036  1,06  5,0 
Viga  7,4  1,000  1,036  1,06  8,1 
Viga  4,4  0,968  1,036  1,06  4,7 
Viga  5,3  1,000  1,036  1,06  5,8 
10  Viga  7,6  1,000  1,036  1,06  8,3 
11  Viga  7,4  0,997  1,036  1,06  8,1 
12  Viga  5,0  1,000  1,036  1,06  5,5 
10Losa  27,0  0,968  1,036  1,06  28,7 
Losa  22,9  0,962  1,036  1,06  24,2 
Losa  32,0  0,935  1,036  1,06  32,8 
11Columna  12,6  0,997  0,990  1,06  13,2 
Columna  12,9  1,000  0,990  1,06  13,6 
Columna  10,5  1,000  0,990  1,06  11,0 
Columna  8,8  1,000  0,990  1,06  9,3 
Columna  13,4  1,000  0,990  1,06  14,0 
Columna  11,9  1,000  0,990  1,06  12,5 
Columna  9,6  1,000  0,990  1,06  10,1 
Columna  8,6  1,000  0,990  1,06  9,1 
12Columna  8,4  0,973  1,000  1,06  8,7 
Columna  5,3  0,969  1,000  1,06  5,4 
Columna  8,3  0,874  1,000  1,06  7,7 
Viga  12,1  0,975  1,000  1,06  12,5 
Viga  12,4  0,894  1,000  1,06  11,8 
Viga  8,3  0,968  1,000  1,06  8,5 
13Losa  32,9  0,965  1,030  1,06  34,7 
Losa  21,3  0,959  1,030  1,06  22,3 
Losa  19,5  0,909  1,030  1,06  19,3 
Losa  15,3  0,955  1,030  1,06  16,0 
Losa  24,1  0,934  1,030  1,06  24,6 
Losa  21,3  0,938  1,030  1,06  21,9 
Losa  13,4  0,927  1,030  1,06  13,6 
Losa  25,5  0,943  1,030  1,06  26,3 
Losa  20,9  0,896  1,030  1,06  20,4 
10  Losa  30,1  0,905  1,030  1,06  29,8 
11  Losa  19,9  0,911  1,030  1,06  19,8 
12  Losa  17,7  0,901  1,030  1,06  17,4 
14Losa  14,8  0,958  1,036  1,06  15,6 
Losa  14,4  0,963  1,036  1,06  15,2 
Losa  9,8  0,961  1,036  1,06  10,4 
Losa  9,3  0,950  1,036  1,06  9,7 
Losa  37,2  0,975  1,036  1,06  39,9 
Losa  35,6  0,982  1,036  1,06  38,4 
Losa  10,6  0,949  1,036  1,06  11,1 
Losa  10,0  0,977  1,036  1,06  10,7 
Losa  5,8  0,977  1,036  1,06  6,2 
10  Losa  6,9  0,961  1,036  1,06  7,3 
11  Losa  11,9  0,941  1,036  1,06  12,3 
12  Losa  10,9  0,983  1,036  1,06  11,7 
13  Losa  15,1  0,974  1,036  1,06  16,2 
14  Losa  13,7  0,972  1,036  1,06  14,6 
15  Losa  19,0  0,975  1,036  1,06  20,3 
16  Losa  20,1  0,984  1,036  1,06  21,7 
17  Losa  21,6  0,964  1,036  1,06  22,8 
18  Losa  22,3  0,940  1,036  1,06  23,0 
19  Losa  13,8  0,932  1,036  1,06  14,1 
20  Losa  15,1  0,936  1,036  1,06  15,5 
15Columna  8,4  0,921  1,000  1,06  8,2 
Columna  13,6  0,938  1,000  1,06  13,6 
Columna  11,0  0,937  1,000  1,06  10,9 
Columna  9,7  0,923  1,000  1,06  9,5 
Columna  15,6  0,919  1,000  1,06  15,2 
Columna  10,4  0,933  1,000  1,06  10,3 
Viga  16,2  0,953  1,000  1,06  16,4 
Viga  14,9  0,948  1,000  1,06  15,0 
Viga  10,5  0,967  1,000  1,06  10,8 
10  Viga  15,6  0,962  1,000  1,06  15,9 
11  Viga  22,0  0,905  1,000  1,06  21,1 
12  Viga  12,3  0,953  1,000  1,06  12,5 
13  Viga  15,6  0,964  1,000  1,06  15,9 
14  Viga  22,6  0,901  1,000  1,06  21,5 
15  Viga  21,5  0,945  1,000  1,06  21,5 

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